2020-2021学年上海市杨浦高级中学高三（下）开学数学试卷

一、填空题（1～6题每小题4分，7-12题每小题4分，本大题满分54分）

• 1．已知A=（-∞，a]，B=[1，2]，且A∩B≠∅，则实数a的范围是
  组卷：412引用：5难度：0.9

  解析

• 2．直线ax+（a-1）y+1=0与直线4x+ay-2=0互相平行，则实数a=
  组卷：500引用：4难度：0.9

  解析

• 3．已知α∈（0，π），cosα=-

  3

  5

  ，则tan（α+

  π

  4

  ）=

  ．
  组卷：155引用：5难度：0.9

  解析

• 4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=
  组卷：223引用：3难度：0.9

  解析

• 5．已知函数f（x）=

  - x 2 ， x ≥ 0

  2 - x - 1 ， x ＜ 0

  ，则f^-1[f^-1（-9）]=

  ．
  组卷：199引用：3难度：0.7

  解析

• 6．从集合{-1，1，2，3}随机取一个为m,从集合{-2，-1，1，2}随机取一个为n,则方程

  x

  2

  m

  +

  y

  2

  n

  =

  1

  表示双曲线的概率为

  ．
  组卷：138引用：4难度：0.7

  解析

• 7．已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₂，a₄，a₃成等差数列，则q=

  ．
  组卷：975引用：18难度：0.7

  解析

三.解答题（本大题满分76分）

• 20．如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  ，点M（m,n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．
  （1）证明：过椭圆C上的点M（m,n）的“切线”方程是

  mx

  2

  +

  ny

  =

  1

  ；
  （2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m,n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；
  （3）点M（m,n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F₁和F₂，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF₁、MF₂所成夹角是否相等？并说明理由．
  组卷：328引用：2难度：0.5

  解析

• 21．已知函数f（x）=ax³+x-a（a∈R，x∈R），g（x）=

  x

  1

  -

  x

  3

  （x∈R）．
  （1）如果x=

  -

  3

  4

  2

  是关于x的不等式f（x）≤0的解，求实数a的取值范围；
  （2）判断g（x）在（

  -

  1

  ，

  -

  3

  4

  2

  ]和[

  -

  3

  4

  2

  ，

  1

  ）的单调性，并说明理由；
  （3）证明：函数f（x）存在零点q,使得a=q+q⁴+q⁷+…+q^3n-2+…成立的充要条件是a

  ≥

  -

  3

  4

  3

  ．
  组卷：318引用：2难度：0.1

  解析