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2021-2022学年江苏省南京师大苏州实验学校高一（上）期中数学试卷

发布：2024/10/7 14:0:2

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数
z
=
2
+
i
1
-
i
则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．
（
1
2
，
3
2
）
D．
（
-
4
3
，-
5
3
）
组卷：54引用：2难度：0.8
解析
2．已知向量
a
=（1，3），
b
=（-6，m），若
a
与
b
垂直，则实数m=（　　）
A．-2 B．2 C．-8 D．8
组卷：136引用：2难度：0.8
解析
3．已知某圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2．则圆锥的表面积为（　　）
A．10π B．12π C．14π D．16π
组卷：26引用：2难度：0.6
解析
4．当复数z满足|z-3+4i|=1时，则|z-2|的最大值是（　　）
A．
41
+1 B．
17
+1 C．
15
+1 D．
13
+1
组卷：163引用：3难度：0.8
解析
5．在△ABC中，已知a,b,c分别为角A，B，C的对边且∠A=120°，若
S
△
ABC
=
3
3
2
且2sinB=3sinC，则△ABC的周长等于（　　）
A．
5
+
7
B．12 C．
10
+
7
D．
5
+
19
组卷：10引用：1难度：0.6
解析
6．已知O为△ABC所在平面内一点，若
（
OA
+
OB
）
•
AB
=
（
OB
+
OC
）
•
BC
=
0
，AB=4，AC=2，则
AO
•
BC
=（　　）
A．-8 B．8 C．-6 D．16
组卷：127引用：3难度：0.6
解析
7．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=
1
4
[
c
2
a
2
-
（
c
2
+
a
2
-
b
2
2
）
2
]
，现有周长为10+2
7
的△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：
7
，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　）
A．
6
3
B．
4
7
C．
8
7
D．12
组卷：313引用：14难度：0.7
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA=3km,∠OAM=60°，∠AOB=90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ．
（1）当
AM
=
3
2
km
时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；
（2）若θ=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？
（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？
组卷：238引用：8难度：0.4
解析
22．已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx,称向量
OM
=（a,b）为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量
OM
的相伴函数．
（1）设函数
g
（
x
）
=
sin
（
x
+
5
π
6
）
-
sin
（
3
π
2
-
x
）
，试求g（x）的相伴特征向量
OM
；
（2）记向量
ON
=（1，
3
）的相伴函数为f（x），求当
f
（
x
）
=
8
5
且x∈（
-
π
3
，
π
6
）时，sinx的值；
（3）已知A（-2，3），B（2，6），
OT
=（
-
3
，1）为
h
（
x
）
=
msin
（
x
-
π
6
）
的相伴特征向量，
φ
（
x
）
=
h
（
x
2
-
π
3
）
，请问在y=φ（x）的图象上是否存在一点P，使得
AP
⊥
BP
．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
组卷：383引用：18难度：0.5
解析