2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题：

• 1．已知集合A={-1，0，2}，B={x|x≤1}，则A∩B=

  ．
  组卷：34引用：4难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z=

  1

  -

  i

  i

  （其中i为虚数单位），则|z|=

  ．
  组卷：113引用：7难度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  m

  +

  1

  ，

  2

  m

  -

  4

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，则m=

  ．
  组卷：63引用：2难度：0.8

  解析

• 4．已知函数f（x）=2x²+x,则f′（2）=

  ．
  组卷：121引用：3难度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，a²-b²=

  3

  bc

  ,

  sin

  C

  =

  2

  3

  sinB，则A=

  ．
  组卷：80引用：1难度：0.7

  解析

• 6．若P是等边△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=2，△ABC的边长为3，则PC与平面ABC所成角的大小是

  ．
  组卷：39引用：2难度：0.6

  解析

• 7．若关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥a²+a+1有解，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：142引用：4难度：0.7

  解析

三、解答题

• 20．已知函数y=f（x），y=g（x），其中f（x）=

  1

  x

  2

  ，g（x）=lnx.
  （1）求函数y=g（x）在点（1，g（1））的切线方程；
  （2）函数y=mf（x）+2g（x），m∈R，m≠0是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
  （3）若关于x的不等式af（x）+g（x）≥a在区间（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．
  组卷：328引用：6难度：0.6

  解析

• 21．已知f（x）是定义在[m,n]上的函数，记F（x）=f（x）-（ax+b），|F（x）|的最大值为M（a,b）．若存在m≤x₁＜x₂＜x₃≤n,满足|F（x₁）|=M（a,b），F（x₂）=-F（x₁）．F（x₃）=F（x₁），则称一次函数y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，此时的M（a,b）称为f（x）在[m,n]上的“逼近确界”．
  （1）验证：y=4x-1是g（x）=2x²，x∈[0，2]的“逼近函数”；
  （2）已知f（x）=

  x

  ，x∈[0，4]，F（0）=F（4）=-M（a,b）．若y=ax+b是f（x）的“逼近函数”，求a,b的值；
  （3）已知f（x）=

  x

  ，x∈[0，4]的逼近确界为

  1

  4

  ，求证：对任意常数a,b,M（a,b）≥

  1

  4

  ．
  组卷：108引用：4难度：0.1

  解析