2022-2023学年浙江省杭州市高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|x＜5}，B={x|1＜x＜7}，则（∁_RA）∩B=（　　）

  A．[5，7]

  B．[5，7）

  C．（5，7]

  D．（5，7）
  组卷：64引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知复数

  z

  =

  -

  1

  2

  +

  3

  2

  i

  ，则

  1

  z

  +

  z

  等于（　　）

  A．-1

  B．0

  C． - 3 i

  D． - 1 - 3 i
  组卷：77引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知

  a

  =

  （

  2

  ，

  4

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  1

  ）

  ，则

  a

  在

  b

  上投影向量为（　　）

  A． 3 2

  B．（3，3）

  C． 3 2 2

  D． （ 3 2 ， 3 2 ）
  组卷：111引用：1难度：0.8

  解析

• 4．正整数2160的不同正因数的个数为（　　）

  A．20

  B．28

  C．40

  D．50
  组卷：200引用：3难度：0.6

  解析

• 5．“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：天）间的关系为：

  P

  =

  P

  0

  •

  e

  -

  kt

  ，其中P₀表示初始含量，k为正常数．令

  μ

  =

  |

  P

  2

  -

  P

  1

  t

  2

  -

  t

  1

  |

  为[t₁，t₂]之间海水稀释效率，其中P₁，P₂分别表示当时间为t₁和t₂时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即（0，5]，（5，10]，（10，15]，（15，20]分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高（　　）．

  A．Ⅰ期

  B．Ⅱ期

  C．Ⅲ期

  D．Ⅳ期
  组卷：144引用：4难度：0.7

  解析

• 6．已知a=log₂3，b=log₃5，c=log₄8，则a,b,c的大小关系是（　　）

  A．c＞a＞b

  B．a＞c＞b

  C．b＞a＞c

  D．a＞b＞c
  组卷：348引用：2难度：0.6

  解析

• 7．设函数f（x）=2x-cosx,{a_n}是公差为

  π

  8

  的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则[f（a₃）]²-a₁a₅=（　　）

  A．0

  B． 1 16 π 2

  C． 1 8 π 2

  D． 13 16 π 2
  组卷：732引用：11难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知M是椭圆

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  的左顶点，过M作两条射线，分别交椭圆于点A，B，交直线x=4于点C，D．
  （Ⅰ）若∠AMB=45°，求|CD|的最小值；
  （Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），当

  1

  y

  1

  +

  1

  y

  2

  =

  1

  y

  3

  +

  1

  y

  4

  ，求证：直线AB过定点．
  组卷：85引用：1难度：0.6

  解析

• 22．已知函数f（x）=alnx-x²-x.
  （1）讨论函数f（x）的单调性；
  （2）若a=-1，函数F（x）=f（x）+x+1，且∀m,n∈（0，+∞），m≠n,|mF（n）-nF（m）|＞λ|m-n|，求实数λ的取值范围．
  组卷：121引用：2难度：0.6

  解析