2022-2023学年上海市静安区市北中学高三（上）期中数学试卷

一、填空题。（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分。

• 1．不等式2^x＞1的解为

   

  ．
  组卷：85引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知全集U=R，集合A={x||x|＜1}，B={x|x＞

  -

  1

  2

  }，则

  B

  ∩A=

  ．
  组卷：9引用：1难度：0.8

  解析

• 3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₁=55，则a₆=

  ．
  组卷：346引用：5难度：0.8

  解析

• 4．已知复数z满足z•|3-4i|=2+5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标

  ．
  组卷：65引用：1难度：0.7

  解析

• 5．过点（2，0）且与直线2x-4y-1=0垂直的直线的方程是

  ．
  组卷：37引用：1难度：0.7

  解析

• 6．函数y=sinx-

  3

  cosx的最大值为

   

  ．
  组卷：179引用：4难度：0.9

  解析

• 7．多项式

  （

  x

  +

  2

  ）

  （

  x

  +

  1

  ）

  5

  =

  a

  6

  x

  6

  +

  a

  5

  x

  5

  +

  ⋯

  +

  a

  1

  x

  +

  a

  0

  ，那么a₁=

  ．
  组卷：92引用：1难度：0.9

  解析

三、解答题。（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

• 20．已知有穷数列{a_n}的各项均不相等，将{a_n}的项由大到小重新排列后相应的项数构成新数列{p_n}，称{p_n}为{a_n}的“序数列”，例如：数列a₁，a₂，a₃满足a₁＞a₃＞a₂，则其“序数列”{p_n}为1，3，2．
  （1）若数列{a_n}的通项公式为

  a

  n

  =

  （

  -

  2

  ）

  n

  （

  n

  =

  1

  ，

  2

  ，

  3

  ，

  4

  ）

  ，写出{a_n}的“序数列”；
  （2）若项数不少于5项的有穷数列{b_n}、{c_n}的通项公式分别为

  b

  n

  =

  n

  •

  （

  3

  5

  ）

  n

  ，

  c

  n

  =

  -

  n

  2

  +

  t

  •

  n

  ，且{b_n}的“序数列”与{c_n}的“序数列”相同，求实数t的取值范围：
  （3）已知有穷数列{a_n}的“序数列”为{p_n}，求证：“{p_n}为等差数列”的充要条件是“{a_n}为单调数列”．
  组卷：47引用：1难度：0.4

  解析

• 21．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  ,

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  a

  x

  2

  +

  bx

  （

  a

  ≠

  0

  ）

  ．
  （1）若a=-2，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域上是增函数，求实数b的取值范围；
  （2）设函数φ（x）=x•f（x）+（m-x）f（m-x），0＜x＜m,若φ（x）≥2m-m²恒成立，求实数m的取值范围；
  （3）设函数f（x）的图像c₁与函数g（x）的图像c₂交于点P、Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交c₁、c₂于点M、N，问是否存在点R，使c₁在M处的切线与c₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：85引用：1难度：0.4

  解析