2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

• 1．用反证法证明命题：“若a+b＞0，则a,b至少有一个大于0．”下列假设中正确的是（　　）

  A．假设a,b都不大于0

  B．假设a,b都小于0

  C．假设a,b至多有一个大于0

  D．假设a,b至少有一个小于0
  组卷：47引用：5难度：0.8

  解析

• 2．已知方程

  x

  2

  2

  -

  k

  +

  y

  2

  2

  k

  -

  1

  =

  1

  表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（　　）

  A． （ 1 2 ， 2 ）

  B．（1，+∞）

  C．（1，2）

  D． （ 1 2 ， 1 ）
  组卷：333引用：24难度：0.9

  解析

• 3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：
  ①两球都不是白球；
  ②两球中恰有一白球；
  ③两球中至少有一个白球．
  其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（　　）

  A．①②

  B．①③

  C．②③

  D．①②③
  组卷：82引用：14难度：0.9

  解析

• 4．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股-勾）²=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾²+股²=弦²，设勾股中勾股比为

  1

  ：

  3

  ，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（　　）（参考数据：

  2

  ≈

  1

  .

  414

  ，

  3

  ≈

  1

  .

  732

  ）

  A．866

  B．500

  C．300

  D．134
  组卷：6引用：1难度：0.8

  解析

• 5．已知一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是2，方差是

  1

  3

  ，那么另一组数据3x₁-2，3x₂-2，3x₃-2，3x₄-2，3x₅-2的平均数和方差分别为（　　）

  A．2， 1 3

  B．4，3

  C．4， 2 3

  D．2，1
  组卷：618引用：26难度：0.9

  解析

• 6．用数学归纳法证明

  1

  +

  2

  +

  3

  +

  ⋯

  +

  n

  2

  =

  n

  2

  +

  n

  4

  2

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，则当n=k+1时，等式左边应该在n=k的基础上加上（　　）

  A．k2+1

  B．（k+1）2

  C．（k+2）2

  D．（k2+1）+（k2+2）+⋯+（k+1）2
  组卷：48引用：2难度：0.7

  解析

• 7．执行如图所示程序框图，若输出的

  S

  =

  25

  24

  ，则判断框内填入的条件可以是（　　）

  A．k＜5？

  B．k＜6？

  C．k≤7？

  D．k≤8？
  组卷：8引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，

  AD

  ∥

  BC

  ，

  ∠

  ABC

  =

  π

  2

  ，AD=2，

  AB

  =

  2

  3

  ，BC=6．
  （Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
  （Ⅱ）PA长为何值时，直线PC与平面PBD所成角最大？并求此时该角的正弦值．
  组卷：36引用：1难度：0.6

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• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆C的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点．
  组卷：137引用：7难度：0.6

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