2022-2023学年江苏省南京师范大学附中高三（下）开学数学试卷

一．选择题（共8小题）

• 1．设集合A={x∈Z|x²＜9}，集合B={x|（x+1）（x²+3x）=0}，则A∩B=（　　）

  A．{-3，-1，0}

  B．{-1，0}

  C．{1，0}

  D．{3，1，0}
  组卷：28引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知i是虚数单位，

  a

  ,

  b

  ∈

  R

  ，

  z

  =

  1

  +

  i

  ,

  1

  +

  ai

  z

  +

  b

  -

  i

  =

  1

  z

  ，则（　　）

  A． a = 2 b = - 1

  B． a = - 2 b = - 2

  C． a = 4 b = - 2

  D． a = - 4 b = 2
  组卷：24引用：1难度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  的夹角的余弦值为

  2

  3

  ，

  （

  a

  -

  3

  b

  ）

  ⊥

  （

  a

  +

  3

  b

  ）

  ，

  |

  b

  |

  =

  1

  ，则（

  a

  -

  b

  ）

  •

  b

  =（　　）

  A．-4

  B．-1

  C．1

  D．4
  组卷：405引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），M为x轴半轴上一点，O为坐标原点，线段OM的垂直平分线l交抛物线于A，B两点，若四边形OAMB为菱形，且∠OAM=120°，则菱形OAMB的周长为（　　）

  A．5

  B． 5 3 p

  C．8

  D． 16 3 p
  组卷：53引用：2难度：0.7

  解析

• 5．我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行

  4

  3

  米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（　　）

  A． 3 7 米

  B． 4 5 米

  C． 5 2 米

  D． 16 3 米
  组卷：70引用：4难度：0.7

  解析

• 6．已知6^p=7，7^q=8，p^r=q,则p,q,r的大小关系为（　　）

  A．r＞p＞q

  B．q＞p＞r

  C．p＞r＞q

  D．p＞q＞r
  组卷：87引用：2难度：0.6

  解析

• 7．如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为矩形，SA⊥AB，SB=SC=2，SA=AD=1，则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为（　　）

  A． 13 π 3

  B．4π

  C． 10 π 3

  D．3π
  组卷：251引用：1难度：0.6

  解析

四．简答题题（共6小题）

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为2，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（0，1）与F₁，F₂构成的三角形的面积为2．
  （1）求双曲线C的方程；
  （2）已知直线l：y=kx+m（k≠0，且k²≠3）与双曲线C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，若点F₂在直线M′N上，试判断直线l是否经过x轴上的一个定点，若经过定点，求出定点的坐标，若不经过定点，请说明理由．
  组卷：52引用：1难度：0.4

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• 22．已知函数f（x）=（2-a）（xlnx-x）+x²+alnx+1，g（x）为函数f（x）的导函数．
  （1）讨论g（x）的单调性；
  （2）当a=1时，h（x）=2x²+lnx-x-f（x），若m＞0，n＞0，且mn＞1，证明：h（m）+h（n）＞0．
  组卷：50引用：1难度：0.4

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