2022-2023学年宁夏银川一中高二（下）期中数学试卷（理科）

一、单选题。（本题共12小题，每小题5分，共60分）

• 1．

  ∫

  π

  2

  0

  cosxdx

  =（　　）

  A．-1

  B．1

  C．-2

  D．2
  组卷：18引用：2难度：0.8

  解析

• 2．在同一平面直角坐标系中，将曲线y=

  1

  3

  cos2x按伸缩变换

  x ′ = 2 x

  y ′ = 3 y

  变换为（　　）

  A．y′=cosx′	B．y′=3cos 1 2 ′
  C．y′=2cos 1 3 x′	D．y′= 1 2 cos3x′
  组卷：76引用：7难度：0.9

  解析

• 3．如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T．若当水深为h时，水注入所用时间为t,则函数h=f（t）的图像大致是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：91引用：3难度：0.7

  解析

• 4．下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy=1表示的曲线完全一致的是（　　）

  A． x = t 0 . 5 y = t - 0 . 5	B． x = | t | y = | t | - 1
  C． x = cost y = sint	D． x = tant y = cost sint
  组卷：37引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2xf'（2）+ln（x-1），则f（2）=（　　）

  A．-1

  B． - 2 3

  C．-4

  D．e
  组卷：275引用：5难度：0.8

  解析

• 6．在极坐标系中，曲线

  ρ

  =

  4

  sin

  （

  θ

  -

  π

  3

  ）

  关于（　　）

  A．直线 θ = π 3 轴对称	B．直线 θ = 5 6 π 轴对称
  C．点 （ 2 ， π 3 ） 中心对称	D．极点中心对称
  组卷：719引用：12难度：0.9

  解析

• 7．如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC₁的长为（　　）

  A． 3

  B．2

  C． 5

  D． 6
  组卷：121引用：3难度：0.8

  解析

三、解答题。（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

• 21．在直角梯形AA₁B₁B中，A₁B₁∥AB，AA₁⊥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=6，直角梯形AA₁B₁B绕直角边AA₁旋转一周得到如下图的圆台A₁A，已知点P，Q分别在线段CC₁，BC上，二面角B₁-AA₁-C₁的大小为θ．
  （1）若θ=120°，

  CP

  =

  2

  3

  C

  C

  1

  ，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA₁B₁B；
  （2）若θ=90°，点P为CC₁上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA₁C₁C所成最大角的正切值，并求此时二面角Q-AP-C的余弦值．
  组卷：390引用：7难度：0.2

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• 22．已知f（x）=2xlnx,g（x）=-x²+ax-3．
  （Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
  （Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围；
  （Ⅲ）证明对一切x∈（0，+∞），都有

  f

  （

  x

  ）

  ＞

  2

  （

  x

  e

  x

  -

  2

  e

  ）

  成立．
  组卷：72引用：6难度：0.1

  解析