2021-2022学年江西省宜春市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．复数z满足

  z

  （

  1

  +

  i

  ）

  =

  |

  1

  2

  -

  3

  2

  i

  |

  （i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：32引用：1难度：0.8

  解析

• 2．若a,b,c∈R，则下列命题正确的是（　　）

  A．若a＞b,则a3＞b3	B．若a＞b,则ac2＞bc2
  C．若a＞b,则 1 a ＜ 1 b	D．若a＞b,c＞d,则ac＞bd
  组卷：62引用：3难度：0.7

  解析

• 3．根据分类变量..与y的观察数据计算得：K²=5.974．根据下表给出的K²独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（　　）
  

  P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
  k0	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

  A．有99%的把握认为变量x与y独立

  B．有99%的把握认为变量x与y不独立

  C．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过2.5%

  D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过2.5%
  组卷：25引用：1难度：0.8

  解析

• 4．在同一坐标系中，将曲线x²+y²=1变为曲线

  x

  ′

  2

  4

  +

  y

  ′

  2

  9

  =

  1

  的一个伸缩变换是（　　）

  A． x ′ = 2 x y ′ = 3 y	B． x ′ = 1 2 x y ′ = 1 3 y
  C． x = 1 2 x ′ y = 3 y ′	D． x = 2 x ′ y = 1 3 y ′
  组卷：11引用：1难度：0.7

  解析

• 5．将一枚均匀的骰子连续投掷两次，记两次向上的点数之和为随机变量ξ，则P（ξ＞4）=（　　）

  A． 1 6

  B． 5 6

  C． 8 11

  D． 11 12
  组卷：11引用：1难度：0.8

  解析

• 6．如图所示圆柱的轴截面ABCD的周长为定值，则（　　）

  A．圆柱的体积有最小值，此时高与底面圆的直径之比为1

  B．圆柱的体积有最小值，此时高与底面圆的半径之比为1

  C．圆柱的体积有最大值，此时高与底面圆的直径之比为1

  D．圆柱的体积有最大值，此时高与底面圆的半径之比为1
  组卷：24引用：1难度：0.6

  解析

• 7．随机变量ξ的分布列如表：
  

  ξ	0	4x	2 1 - x 2
  P	1 4	k	1 2

  则当E（ξ）取最大值时，D（ξ）=（　　）

  A． 2 3

  B． 5 9

  C．1

  D． 4 3
  组卷：224引用：1难度：0.5

  解析

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．2022年2月4日至2月20日第24届冬奥会在北京举行，本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，一个原因是主办方的广泛宣传．某课外学习小组通过收集整理出了宣传力度（x）与好评量（y）之间的散点图（如图所示），根据散点图中的数据，令

  s

  =

  x

  ，

  t

  =

  1

  x

  统计整理得到（s_i，y_i）与（t_i，y_i）（i=1，2，3，…，13）的如下数据表（如图所示），现计划用

  y

  =

  a

  +

  b

  x

  或

  y

  =

  c

  +

  d

  x

  建立y关于x的回归方程．
  

  x		y		s		t
  10.15		109.94		3.04		0.16
  n ∑ i = 1 s i y i - 13 s • y	13 ∑ i = 1 t i y i - 13 t • y		13 ∑ i = 1 s 2 i - 13 x 2		13 ∑ i = 1 t 2 i - 13 t 2		13 ∑ i = 1 y 2 i - 13 y 2
  13.94	-2.1		11.67		0.21		21.22

  （1）设（s_i，y_i）与（t_i，y_i）（i=1，2，3，…，13）的相关系数分别为r₁，r₂，求r₁，r₂的值并根据其意义判断哪种模型更合适建立y与x的回归方程，请求出该方程；
  附：参考数据和公式：

  4

  .

  4562

  =

  2

  .

  1109

  ，

  247

  .

  6374

  =

  15

  .

  7365

  ，回归直线方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

  ˆ

  β

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  u

  i

  v

  i

  -

  n

  u

  •

  v

  n

  ∑

  i

  =

  1

  u

  2

  i

  -

  n

  u

  2

  ，

  ˆ

  α

  =

  v

  -

  ˆ

  β

  u

  ，相关系数计算公式：

  r

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  u

  i

  v

  i

  -

  n

  u

  •

  v

  n

  ∑

  i

  =

  1

  u

  2

  i

  -

  n

  u

  2

  •

  n

  ∑

  i

  =

  1

  v

  2

  i

  -

  n

  v

  2

  ．
  （2）为发挥线上购物的优越性，现主办方在某网购平台推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品进行售卖，网购平台为提高销售量，组织A，B，C三家网店开展“秒杀”抢购活动．其中甲在A家抢购一个订单，乙在B家抢购一个订单，丙在C家抢购一个订单，若三人在三家网店订单“秒杀”成功的概率均为p,且三人是否抢购成功互不影响，记三人抢购到的订单总数为随机变量Z．
  （ⅰ）求Z的分布列及E（Z）；
  （ⅱ）若每个订单由k（k≥2，k∈N^*）个“冰墩墩”构成，记三人抢购到的“冰墩墩”总数量为T，假设

  p

  =

  1

  k

  -

  k

  -

  1

  2

  k

  ，求E（T）取最小值时正整数k的值．
  组卷：325引用：1难度：0.3

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  -

  x

  ）

  e

  x

  （e为自然对数的底数）．
  （1）求函数f（x）的单调递增区间；
  （2）若不等式

  af

  （

  x

  ）

  -

  1

  e

  ＞

  0

  在

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  2

  ]

  上恒成立，求实数a的取值范围；
  （3）证明：

  f

  （

  1

  ）

  +

  f

  （

  1

  2

  ）

  +

  ⋯

  +

  f

  （

  1

  n

  ）

  ＞

  n

  -

  1

  e

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ．
  组卷：31引用：1难度：0.6

  解析