2011-2012学年四川省成都七中高三（上）开学考试数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．

• 1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2^x≤1}，则∁_U（A∪B）=（　　）

  A．（-∞，1）

  B．（1，+∞）

  C．（-∞，1]

  D．[1，+∞）
  组卷：125引用：31难度：0.9

  解析

• 2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则

  2

  z

  +z²=（　　）

  A．-1-i

  B．-1+i

  C．1-i

  D．1+i
  组卷：560引用：72难度：0.9

  解析

• 3．函数f（x）在（a,b）上连续，且

  lim

  x

  →

  a

  +

  f（x）=m,

  lim

  x

  →

  b

  -

  f（x）=n,mn＜0，f′（x）＞0，则f（x）=0在（a,b）内（　　）

  A．没有实根	B．至少有一个实根
  C．有两个实根	D．有且只有一个实根
  组卷：5引用：2难度：0.9

  解析

• 4．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（　　）

  A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n	B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
  C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n	D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
  组卷：648引用：37难度：0.9

  解析

• 5．若两个非零向量

  a

  ，

  b

  满足|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  -

  b

  |=2|

  a

  |，则向量

  a

  +

  b

  与

  a

  -

  b

  的夹角是（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  组卷：555引用：47难度：0.9

  解析

• 6．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n=n（n∈N*），则a₁₀₀的值为（　　）

  A．5050

  B．5051

  C．4950

  D．4951
  组卷：102引用：6难度：0.9

  解析

• 7．将函数f（x）的图象沿x轴向右平移

  π

  3

  个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所对应的函数为y=cosx,则f（x）为（　　）

  A．y=cos（2x+ π 3 ）	B．y=cos（2x- π 3 ）
  C．y=cos（2x+ 2 3 π）	D．y=cos（2x- 2 3 π）
  组卷：20引用：6难度：0.9

  解析

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
  （1）求数列{a_n}的通项公式；
  （2）若数列{b_n}满足

  4

  b

  1

  -

  1

  4

  b

  2

  -

  1

  4

  b

  3

  -

  1

  …

  4

  b

  n

  -

  1

  =

  （

  a

  n

  +

  1

  ）

  b

  n

  ，证明：{b_n}是等差数列；
  （3）证明：

  1

  a

  2

  +

  1

  a

  3

  +

  …

  +

  1

  a

  n

  +

  1

  ＜

  2

  3

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ．
  组卷：73引用：14难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）
  （1）当a=

  1

  2

  时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
  （2）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x），在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的“活动函数”．已知函数f₁（x）=（a-

  1

  2

  ）x²+2ax+（1-a²）lnx,f₂（x）=

  1

  2

  x²+2ax.
  ①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
  ②当a=

  2

  3

  时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f₁（x），f₂（x）的“活动函数”有无穷多个．
  组卷：64引用：7难度：0.5

  解析