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2023年上海市杨浦区复旦大学附中高考数学模拟试卷

发布：2024/5/2 8:0:9

一、填空题

1．已知集合A={x,x²+1，-1}中的最大元素为2，则实数x=
．
组卷：484引用：3难度：0.9
解析
2．函数y=2cosx的严格减区间为
．
组卷：107引用：2难度：0.8
解析
3．若函数y=f（x）为偶函数，且当x＜0时，f（x）=2^x-1，则f（1）=
．
组卷：248引用：5难度：0.7
解析
4．若某圆锥高为3，其侧面积与底面积之比为2：1，则该圆锥的体积为
．
组卷：180引用：7难度：0.6
解析
5．已知样本数据2、4、8、m的极差为10，其中m＞0，则该组数据的方差为
．
组卷：60引用：2难度：0.7
解析
6．在财务审计中，我们可以用“本・福特定律”来检验数据是否造假．本・福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1～9这九个事件不是等可能的．具体来说，随机变量X是一组没有人为编造的首位非零数字，则
P
（
X
=
k
）
=
lg
k
+
1
k
，
k
=
1
，
2
，
⋯
，
9
．则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为
（保留至整数）．
组卷：79引用：2难度：0.7
解析
7．若（1-2x）²⁰¹³=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₃x²⁰¹³（x∈R），则
a
1
2
+
a
2
2
2
+…+
a
2013
2
2013
=
．
组卷：255引用：4难度：0.5
解析

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三、解答题

20．贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学家卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图所示，抛物线Γ：x²=2py,其中p＞0为一给定的实数．
（1）写出抛物线Γ的焦点坐标及准线方程；
（2）若直线l：y=kx-2pk+2p与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；
（3）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：
|
AD
|
|
DE
|
=
|
EF
|
|
FC
|
=
|
DB
|
|
BF
|
．
组卷：105引用：2难度：0.3
解析
21．设y=f（x）是定义域为R的函数，如果对任意的x₁、x₂∈R（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|均成立，则称y=f（x）是“平缓函数”．
（1）若
f
1
（
x
）
=
1
x
2
+
1
，
f
2
（
x
）
=
sinx
，试判断y=f₁（x）和y=f₂（x）是否为“平缓函数”？并说明理由；（参考公式：x＞0时，sinx＜x恒成立）
（2）若函数y=f（x）是“平缓函数”，且y=f（x）是以1为周期的周期函数，证明：对任意的x₁、x₂∈R，均有
|
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
|
＜
1
2
；
（3）设y=g（x）为定义在R上函数，且存在正常数A＞1使得函数y=A•g（x）为“平缓函数”．现定义数列{x_n}满足：x₁=0，x_n=g（x_n-1）（n=2，3，4，⋯），试证明：对任意的正整数
n
,
g
（
x
n
）
≤
A
|
g
（
0
）
|
A
-
1
．
组卷：91引用：3难度：0.2
解析