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2022-2023学年河北省石家庄四十一中高二（上）第一次月考数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．对空间任意一点O，
OP
=
3
4
OA
+
1
8
OB
+
1
8
OC
，则P、A、B、C四点（　　）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
组卷：381引用：10难度：0.9
解析
2．已知|
a
|=4，空间向量
e
为单位向量，＜
a
，
e
＞=
2
π
3
，则空间向量
a
在向量
e
方向上的投影的数量为（　　）
A．2 B．-2 C．-
1
2
D．
1
2
组卷：235引用：6难度：0.9
解析
3．如图所示，空间四边形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，点M在OA上，且
OM
=
2
MA
，N为BC中点，则
MN
等于（　　）
A．
1
2
a
-
2
3
b
+
1
2
c
B．
-
2
3
a
+
1
2
b
+
1
2
c
C．
1
2
a
+
1
2
b
-
2
3
c
D．
2
3
a
+
2
3
b
-
1
2
c
组卷：223引用：25难度：0.7
解析
4．已知向量
a
=（4，-2，6），
b
=（-2，1，x），则使
a
⊥
b
，
a
∥
b
成立的x分别为（　　）
A．
5
3
，-3 B．
10
3
，-3 C．
5
3
，3 D．
10
3
，3
组卷：480引用：6难度：0.8
解析
5．已知
i
，
j
，
k
是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且
OA
=
3
k
，
AB
=
-
i
+
j
-
k
，则点B的坐标为（　　）
A．（1，-1，1） B．（-1，1，1） C．（1，-1，2） D．（-1，1，2）
组卷：526引用：6难度：0.8
解析
6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可以作为空间向量一个基底的是（　　）
A．
AB
，
AC
，
AD
B．
AB
，
A
A
1
，
A
B
1
C．
D
1
A
1
，
D
1
C
1
，
D
1
D
D．
A
C
1
，
A
1
C
，
C
C
1
组卷：870引用：13难度：0.8
解析
7．若平面α、β的法向量分别为
n
1
=（2，-3，5），
n
2
=（-3，1，-4），则（　　）
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确
组卷：211引用：7难度：0.9
解析

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三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为
2
．
（1）设侧棱长为1，求证：AB₁⊥BC₁；
（2）设AB₁与BC₁的夹角为
π
3
，求侧棱的长．
组卷：2132引用：17难度：0.3
解析
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中点，PD⊥平面ABCD，PD=CD=4，AD=2．
（1）求直线AP与平面CMB所成的角的正弦值；
（2）求平面BCP的两个法向量．
组卷：30引用：1难度：0.6
解析

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A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B． - 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
C． 1 2 a + 1 2 b - 2 3 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c

A． AB ， AC ， AD	B． AB ， A A 1 ， A B 1
C． D 1 A 1 ， D 1 C 1 ， D 1 D	D． A C 1 ， A 1 C ， C C 1

A．α∥β	B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直	D．以上均不正确

2022-2023学年河北省石家庄四十一中高二（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．对空间任意一点O，OP=34OA+18OB+18OC，则P、A、B、C四点（ ）

2．已知|a|=4，空间向量e为单位向量，＜a，e＞=2π3，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为（ ）

3．如图所示，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于（ ）

4．已知向量a=（4，-2，6），b=（-2，1，x），则使a⊥b，a∥b成立的x分别为（ ）

5．已知i，j，k是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且OA=3k，AB=-i+j-k，则点B的坐标为（ ）

6．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）

7．若平面α、β的法向量分别为n1=（2，-3，5），n2=（-3，1，-4），则（ ）

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为π3，求侧棱的长．

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中点，PD⊥平面ABCD，PD=CD=4，AD=2．（1）求直线AP与平面CMB所成的角的正弦值；（2）求平面BCP的两个法向量．

1．对空间任意一点O，
OP
=
3
4
OA
+
1
8
OB
+
1
8
OC
，则P、A、B、C四点（　　）

2．已知|
a
|=4，空间向量
e
为单位向量，＜
a
，
e
＞=
2
π
3
，则空间向量
a
在向量
e
方向上的投影的数量为（　　）

3．如图所示，空间四边形OABC中，
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，点M在OA上，且
OM
=
2
MA
，N为BC中点，则
MN
等于（　　）

4．已知向量
a
=（4，-2，6），
b
=（-2，1，x），则使
a
⊥
b
，
a
∥
b
成立的x分别为（　　）

5．已知
i
，
j
，
k
是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且
OA
=
3
k
，
AB
=
-
i
+
j
-
k
，则点B的坐标为（　　）

6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可以作为空间向量一个基底的是（　　）

7．若平面α、β的法向量分别为
n
1
=（2，-3，5），
n
2
=（-3，1，-4），则（　　）

21．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为
2
．
（1）设侧棱长为1，求证：AB₁⊥BC₁；
（2）设AB₁与BC₁的夹角为
π
3
，求侧棱的长．

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中点，PD⊥平面ABCD，PD=CD=4，AD=2．
（1）求直线AP与平面CMB所成的角的正弦值；
（2）求平面BCP的两个法向量．