2021-2022学年湖南省长沙一中高一（下）入学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

• 1．已知集合A={（x,y）|x-2y=1}，B={（x,y）|x+y=2}，则A∩B=（　　）

  A．∅

  B．{ 5 3 ， 1 3 }

  C．{（ 5 3 ， 1 3 ）}

  D．{x= 5 3 ，y= 1 3 }
  组卷：194引用：1难度：0.8

  解析

• 2．已知角α的终边上一点的坐标为（

  sin

  2

  π

  3

  ，

  cos

  2

  π

  3

  ），角α的最小正值为（　　）

  A． 5 π 6

  B． 2 π 3

  C． 5 π 3

  D． 11 π 6
  组卷：691引用：54难度：0.9

  解析

• 3．已知sin（

  3

  π

  2

  -α）+cos（π-α）=sinα，则2sin²α-sinαcosα=（　　）

  A． 21 10

  B． 3 2

  C． 3 2

  D．2
  组卷：423引用：6难度：0.6

  解析

• 4．设a=log₃2，b=ln2，

  c

  =

  5

  -

  1

  2

  ，则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．a＜b＜c

  B．c＜a＜b

  C．b＜a＜c

  D．c＜b＜a
  组卷：545引用：5难度：0.7

  解析

• 5．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征．如函数y=（x³-x）•3^|x|的图象大致是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：94引用：6难度：0.8

  解析

• 6．已知a,b∈R，下列四个条件中，使“

  a

  b

  ＞1”成立的必要不充分条件是（　　）

  A．|a|＞|b|	B．a＞b+1
  C．a＞b-1	D．（ 1 2 ）a＞（ 1 2 ）b
  组卷：95引用：1难度：0.7

  解析

• 7．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜

  π

  2

  ）在x=

  7

  π

  12

  处有最小值，为了得到g（x）=2cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　）

  A．向右平移 π 6 个单位长度

  B．向左平移 π 6 个单位长度

  C．向左平移 π 12 个单位长度

  D．向右平移 π 12 个单位长度
  组卷：152引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．已知函数f（x）=2cos²x+2

  3

  sinxcosx+a,且当x∈[0，

  π

  2

  ]时，f（x）的最小值为2．
  （1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
  （2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的

  1

  2

  ，再将所得图象向右平移

  π

  12

  个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，

  π

  2

  ]上所有根之和．
  组卷：937引用：26难度：0.7

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• 22．已知函数f₁（x）=e^|x-a|，f₂（x）=e^bx．
  （1）若f（x）=f₁（x）+f₂（x）+bf₂（-x），是否存在a,b∈R，使得y=f（x）为偶函数？如果存在，请举例并证明；如果不存在，请说明理由．
  （2）若a=2，b=1，判断g（x）=f₁（x）+f₂（x）在（-∞，1）上的单调性，并用定义证明．
  （3）已知b∈[0，ln2），存在x₀∈[0，1]，对任意x∈[0，1]，都有|f₁（x）-f₂（x₀）|＜1成立，求a的取值范围．
  组卷：70引用：2难度：0.2

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