2020-2021学年江苏省无锡市青山高级中学高二（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡的相应位置上.

• 1．已知某物体的运动位移（单位：m）的方程是

  y

  =

  1

  t

  +

  t

  ，则当t=2s时的瞬时速度是（　　）

  A． 5 2 m/s

  B． 5 4 m/s

  C． 3 4 m/s

  D． 1 4 m/s
  组卷：360引用：3难度：0.8

  解析

• 2．设复数ω=-

  1

  2

  +

  3

  2

  i,则1+ω=（　　）

  A．-ω

  B．ω2

  C． - 1 ω

  D． 1 ω 2
  组卷：193引用：8难度：0.9

  解析

• 3．函数f（x）=cosx（sinx+1）的导数是（　　）

  A．cos2x+sinx

  B．cos2x-sinx

  C．cos2x+cosx

  D．cos2x-cosx
  组卷：577引用：7难度：0.8

  解析

• 4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》，2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其表示的所有四位数中能被3整除的个数为（　　）

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  组卷：11引用：1难度：0.8

  解析

• 5．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：1302引用：46难度：0.9

  解析

• 6．设f（x）是定义在整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k²成立时，总可以推出f（k+1）≥（k+1）²成立”．那么下列命题总成立的是（　　）

  A．若f（3）≥9成立，则当k≥1时均有f（k）≥k2成立

  B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时均有f（k）≥k2成立

  C．若f（7）＜49成立，则当k≥8时均有f（k）＜k2成立

  D．若f（4）=25成立，则当k≥4时均有f（k）≥k2成立
  组卷：210引用：6难度：0.7

  解析

• 7．复数z=

  a

  -

  2

  i

  1

  +

  i

  （a∈R，i为虚数单位）在复平面内的点不可能位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：5引用：1难度：0.8

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

• 21．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h₁（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式h₁=

  1

  40

  a²；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h₂（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式h₂=-

  1

  800

  b³+6b.已知点B到OO′的距离为40米．
  （1）求桥AB的长度；
  （2）计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）．桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价

  3

  2

  k（万元）（k＞0），问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
  组卷：888引用：8难度：0.5

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• 22．已知函数f（x）=e^x（其中e是自然对数的底数），g（x）=x²+ax+1，a∈R．
  （Ⅰ）记函数F（x）=f（x）•g（x），当a＞0时，求F（x）的单调区间；
  （Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求实数a的取值范围．
  组卷：68引用：3难度：0.5

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