2021-2022学年上海交大附中高一（上）开学数学考试

一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）

• 1．已知：点A（-1，a）、B（1，b）在反比例函数

  y

  =

  -

  3

  x

  的图像上，则a

  b（用“＞”、“=”、“＜”填）．
  组卷：12引用：1难度：0.9

  解析

• 2．若关于x的不等式

  x

  -

  a

  x

  +

  1

  ＞

  0

  的解集为（-∞，-1）∪（4，+∞），则实数a=

  ．
  组卷：351引用：7难度：0.9

  解析

• 3．在△ABC和△A'B'C'中，

  AB

  A

  ′

  B

  ′

  =

  BC

  B

  ′

  C

  ′

  =

  CA

  C

  ′

  A

  ′

  =

  3

  5

  ，且AB+BC+CA=24cm,则△A'B'C'的周长=

  cm.
  组卷：3引用：1难度：0.7

  解析

• 4．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则AB等于

  ．
  组卷：16引用：1难度：0.8

  解析

• 5．把有理数a代入|a+4|-10得到a₁，称为第一次操作，再将a₁作为a的值代入得到a₂，称为第二次操作，…，若a=23，经过第2021次操作后得到的是

  ．
  组卷：4引用：1难度：0.7

  解析

• 6．集合P={x|x²+x-6=0}，Q={x|mx-1=0}，且Q⊆P，则实数m的取值集合为

   

  ．
  组卷：40引用：1难度：0.9

  解析

• 7．若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是

  ．
  组卷：246引用：38难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题满分76分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.

• 20．交中的新生小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC中点，“中线长定理”即AB²+AC²=2AD²+2BD²．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
  解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
  同理可得：AC²=AE²+CE²，AD²=AE²+DE²，
  为证明的方便，不妨设BD=CD=x,DE=y,
  ∴AB²+AC²=AE²+BE²+AE²+CE²=……
  （1）请你完成小明剩余的证明过程；
  理解运用：
  （2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD=

  ；
  ②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且

  OA

  =

  2

  2

  ，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO，BC的中点，则EF的长为

  ；
  拓展延伸：
  （3）小明解决上述问题后，联想到某课外书上的某题目：如图4，已知⊙O的半径为

  5

  5

  （圆心为原点O），以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
  组卷：59引用：1难度：0.4

  解析

• 21．已知集合A为非空数集，定义：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a-b|，a,b∈A}．
  （1）若集合A={1，3}，直接写出集合S，T（无需写计算过程）；
  （2）若集合A={x₁，x₂，x₃，x₄}，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且T=A，求证：x₁+x₄=x₂+x₃；
  （3）若集合A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T=∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值．
  组卷：104引用：5难度：0.6

  解析