2009-2010学年数学寒假作业（06）

一、解答题（共6小题，满分17分）

• 1．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=60°，a=（

  3

  -1）c.
  （1）求角A的大小；
  （2）已知当x∈[

  π

  6

  ，

  π

  2

  ]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，求△ABC的面积．
  组卷：55引用：11难度：0.5

  解析

• 2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=2．
  （1）若点E、F分别在棱PB、AD上，且

  PE

  =4

  EB

  ，

  DF

  =4

  FA

  ，求证：EF⊥平面PBC；
  （2）若点G在线段PA上，且三棱锥G-PBC的体积为

  1

  4

  ，试求线段PG的长．
  组卷：89引用：4难度：0.1

  解析

一、解答题（共6小题，满分17分）

• 5．对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p,q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
  （1）若a_n=2n,b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p,q,若不是，请说明理由；
  （2）证明：若数列{a_n}是“M类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“M类数列”；
  （3）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2009项的和．并判断{a_n}是否为“M类数列”，说明理由；
  （4）根据对（2）（3）问题的研究，对数列{a_n}的相邻两项a_n、a_n+1，提出一个条件或结论与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．
  组卷：72引用：5难度：0.5

  解析

• 6．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  +

  a

  •

  （

  1

  2

  ）

  x

  +

  （

  1

  4

  ）

  x

  ；

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  -

  m

  •

  2

  x

  1

  +

  m

  •

  2

  x

  ．
  （1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
  （2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
  （3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．
  组卷：391引用：25难度：0.1

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