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2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/14 0:0:2

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．直线l₁⊥l₂，若l₁的倾斜角为30°，则l₂的斜率为（　　）
A．
3
B．
-
3
C．
3
3
D．
-
3
3
组卷：117引用：4难度：0.8
解析
2．已知圆C₁：x²+y²-4x-6y+9=0与圆C₂：（x+1）²+（y+1）²=9，则圆C₁与圆C₂的位置关系为（　　）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内含
组卷：77引用：2难度：0.7
解析
3．已知直线l过点P（2，0），方向向量为
n
=（1，-1），则原点O到l的距离为（　　）
A．1 B．
2
C．
3
D．3
组卷：150引用：6难度：0.8
解析
4．如图，在三棱锥O-ABC中，点D是棱AC的中点，若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，则
BD
等于（　　）
A．
-
a
+
b
-
c
B．
a
-
b
+
c
C．
-
1
2
a
+
b
-
1
2
c
D．
1
2
a
-
b
+
1
2
c
组卷：42引用：8难度：0.7
解析
5．设点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-
4
9
，点M的轨迹方程为（　　）
A．
x
2
25
+
9
y
2
100
=1（x≠±5） B．
x
2
25
-
9
y
2
100
=1（x≠±5）
C．
y
2
25
+
9
x
2
100
=1（y≠±5） D．
y
2
25
-
9
x
2
100
（y≠±5）
组卷：82引用：3难度：0.5
解析
6．已知椭圆C：
x
2
2
+
y
2
=
1
的左焦点是F₁，过F₁的直线l：y=x+m与圆：x²+y²=4交于A，B两点，则|AB|的长为（　　）
A．
14
B．
7
C．2 D．
14
2
组卷：256引用：7难度：0.7
解析
7．如图，在棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=1，OB=2，OC=3，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为（　　）
A．
2
10
7
B．
2
7
C．
3
7
D．
3
5
7
组卷：56引用：2难度：0.6
解析

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四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC的中点，点P在棱BB₁上．
（1）若
BP
=
1
2
P
B
1
，证明：D₁O与平面PAC不垂直；
（2）若D₁O⊥平面PAC，求平面PCD₁与平面PAC的夹角的余弦值．
组卷：66引用：3难度：0.6
解析
22．已知圆C过点A（2，6），B（-1，3），且圆心在直线y=x+1上．
（1）求圆C的方程；
（2）设点D在圆上运动，点E（3，2），记M为过D，E两点的弦的中点，求M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，若直线DE与直线l：y=x-2交于点N，证明：|EM|•|EN|恒为定值．
组卷：86引用：4难度：0.5
解析

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A． x 2 25 + 9 y 2 100 =1（x≠±5）	B． x 2 25 - 9 y 2 100 =1（x≠±5）
C． y 2 25 + 9 x 2 100 =1（y≠±5）	D． y 2 25 - 9 x 2 100 （y≠±5）

2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．直线l1⊥l2，若l1的倾斜角为30°，则l2的斜率为（ ）

2．已知圆C1：x2+y2-4x-6y+9=0与圆C2：（x+1）2+（y+1）2=9，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）

3．已知直线l过点P（2，0），方向向量为n=（1，-1），则原点O到l的距离为（ ）

4．如图，在三棱锥O-ABC中，点D是棱AC的中点，若OA=a，OB=b，OC=c，则BD等于（ ）

5．设点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-49，点M的轨迹方程为（ ）

6．已知椭圆C：x22+y2=1的左焦点是F1，过F1的直线l：y=x+m与圆：x2+y2=4交于A，B两点，则|AB|的长为（ ）

7．如图，在棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=1，OB=2，OC=3，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为（ ）

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，点P在棱BB1上．（1）若BP=12PB1，证明：D1O与平面PAC不垂直；（2）若D1O⊥平面PAC，求平面PCD1与平面PAC的夹角的余弦值．

1．直线l₁⊥l₂，若l₁的倾斜角为30°，则l₂的斜率为（　　）

2．已知圆C₁：x²+y²-4x-6y+9=0与圆C₂：（x+1）²+（y+1）²=9，则圆C₁与圆C₂的位置关系为（　　）

3．已知直线l过点P（2，0），方向向量为
n
=（1，-1），则原点O到l的距离为（　　）

4．如图，在三棱锥O-ABC中，点D是棱AC的中点，若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，则
BD
等于（　　）

5．设点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-
4
9
，点M的轨迹方程为（　　）

6．已知椭圆C：
x
2
2
+
y
2
=
1
的左焦点是F₁，过F₁的直线l：y=x+m与圆：x²+y²=4交于A，B两点，则|AB|的长为（　　）

7．如图，在棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=1，OB=2，OC=3，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为（　　）

21．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC的中点，点P在棱BB₁上．
（1）若
BP
=
1
2
P
B
1
，证明：D₁O与平面PAC不垂直；
（2）若D₁O⊥平面PAC，求平面PCD₁与平面PAC的夹角的余弦值．