2023-2024学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷

一、单选题（共10小题；共40分）

• 1．已知集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＞0}，则A∪B=（　　）

  A．[-2，3]

  B．[0，3]

  C．（0，+∞）

  D．[-2，+∞）
  组卷：315引用：6难度：0.8

  解析

• 2．复数

  z

  =

  2

  1

  +

  i

  的共轭复数

  z

  =（　　）

  A．1-i

  B．1+i

  C． 1 2 - 1 2 i

  D． 1 2 + 1 2 i
  组卷：250引用：4难度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（m,1），

  b

  =（-1，2）．若

  a

  ∥

  b

  ，则m=（　　）

  A．2

  B．1

  C．-1

  D．- 1 2
  组卷：214引用：3难度：0.8

  解析

• 4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（　　）

  A．f（x）=sinx	B．f（x）=2|x|
  C．f（x）=x3+x	D． f （ x ） = 1 2 （ e - x - e x ）
  组卷：522引用：11难度：0.8

  解析

• 5．记cos（-80°）=k,那么tan100°=（　　）

  A． 1 - k 2 k

  B．- 1 - k 2 k

  C． k 1 - k 2

  D．- k 1 - k 2
  组卷：4211引用：52难度：0.9

  解析

• 6．已知两点A（-2，0），B（0，2），点C是圆x²+y²-4x+4y+6=0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（　　）

  A．8

  B．6

  C． 3 + 2

  D．4
  组卷：500引用：5难度：0.7

  解析

• 7．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）

  A．（kπ- 1 4 ，kπ + 3 4 ），k∈Z	B．（2kπ- 1 4 ，2kπ + 3 4 ），k∈Z
  C．（2k- 1 4 ，2k + 3 4 ），k∈Z	D．（k- 1 4 ，k + 3 4 ），k∈Z
  组卷：957引用：24难度：0.9

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三、解答题（共6小题：共85分）

• 20．已知函数f（x）=x-alnx,g（x）=-

  1

  +

  a

  x

  （a＞0）．
  （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
  （Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的单调区间；
  （Ⅲ）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．
  组卷：1160引用：11难度：0.1

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• 21．已知{a_n}为无穷递增数列，且对于给定的正整数k,总存在i,j.使得a_i≤k,a_j≤k,其中i≤j.令b_k为满足a_i≤k的所有i中的最大值，c_k为满足a_j≥k的所有j中的最小值．
  （1）若无穷递增数列{a_n}的前四项是1，2，3，5，求b₄和c₄的值；
  （2）若{a_n}是无穷等比数列，a₁=1，公比q为大于1的整数，b₃＜b₄=b₅，c₃=c₄，求q的值；
  （3）若{a_n}是无穷等差数列，a₁=1，公差为

  1

  m

  ，其中m为常数，且m＞1，m∈N^*，求证：b₁，b₂，⋯，b_k，⋯和c₁，c₂，⋯，c_k，⋯都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．
  组卷：67引用：2难度：0.2

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