2020年北京市燕博园高考数学综合能力测试试卷（CAT）（3月份）

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．设A=[-1，1]，B=（-∞，m），若A∩B=∅，则实数m的取值范围是（　　）

  A．（-∞，-1）

  B．（-∞，-1]

  C．（-∞，1）

  D．（-∞，1]
  组卷：24引用：1难度：0.8

  解析

• 2．若复数z=-3+4i（其中i为虚数单位），则在复平面内，i•z对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：26引用：1难度：0.8

  解析

• 3．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（　　）

  A．y=ln 1 x

  B．y=- 1 x

  C．y= x 1 2

  D．y=0.8|x-1|
  组卷：34引用：1难度：0.8

  解析

• 4．在锐角△ABC中，a=3，b=5，sinA=

  1

  3

  ，则cos2B=（　　）

  A．- 31 81

  B． 31 81

  C． 20 14 81

  D．- 20 14 81
  组卷：30引用：1难度：0.7

  解析

• 5．已知2^a=

  2

  ，log₉x=a,则x的值为（　　）

  A．9

  B． 1 9

  C．3

  D． 1 3
  组卷：94引用：1难度：0.8

  解析

• 6．设

  a

  =（1+k,2），

  b

  =（-1，k²），其中k∈R，

  a

  ⊥

  b

  ，则k的值为（　　）

  A．1

  B． 1 2

  C．1或 1 2

  D．1或- 1 2
  组卷：26引用：1难度：0.7

  解析

• 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（　　）

  A． 5

  B． 6

  C． 2 2

  D．3
  组卷：99引用：4难度：0.7

  解析

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知椭圆W：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0），离心率为

  2

  2

  ，y轴与椭圆相交于A，B两点，AB=2

  3

  ．
  （Ⅰ）求椭圆W的方程；
  （Ⅱ）若C，D是椭圆上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．求直线MN的斜率．
  组卷：31引用：1难度：0.3

  解析

• 21．对给定的正整数n,若存在若干个正整数a₁，a₂，…，a_k满足a₁+a₂+…+a_k=n（k=1，2，3，…），且a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_k，则称数列a₁，a₂，…，a_k为正整数n的一个“友数列”．若n的所有友数列的个数记为M_n，对任意一个友数列σ_iⁿ（i=1，2，……，M_n），A（σ_iⁿ）表示数列中数字1出现的个数，B（σ_iⁿ）表示数列中出现的不同数字的个数，则研究下列问题：
  （Ⅰ）当n=4时，分别写出M₄，

  M

  4

  ∑

  i

  =

  1

  A

  （

  σ

  4

  i

  ）

  ，

  M

  4

  ∑

  i

  =

  1

  B

  （

  σ

  4

  i

  ）

  ；
  （Ⅱ）计算

  M

  5

  ∑

  i

  =

  1

  A

  （

  σ

  5

  i

  ）

  ，并比较其与M₄+M₃+M₂+M₁+1的大小；
  （Ⅲ）对给定的正整数n,试比较

  M

  n

  ∑

  i

  =

  1

  A（σ_iⁿ）与

  M

  n

  ∑

  i

  =

  1

  B（σ_iⁿ）的大小，并说明理由．
  组卷：33引用：1难度：0.3

  解析