2013-2014学年广东省汕头市金山中学高三（上）开学摸底数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

• 1．已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＜-1或x＞4}，那么集合A∩（∁_UB）等于（　　）

  A．[-1，3]

  B．{x|x≤3或x≥4}

  C．[-2，-1）

  D．[-2，4）
  组卷：34引用：4难度：0.9

  解析

• 2．抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是（　　）

  A．1

  B．2

  C．4

  D．8
  组卷：648引用：57难度：0.9

  解析

• 3．若z=

  3

  1

  +

  2

  i

  （i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：711引用：7难度：0.9

  解析

• 4．已知向量

  a

  =（x,1），

  b

  =（3，6），

  a

  ⊥

  b

  ，则实数x的值为（　　）

  A． 1 2

  B．-2

  C．2

  D． - 1 2
  组卷：245引用：29难度：0.9

  解析

• 5．已知变量x,y满足约束条件

  x + y ≤ 1

  x - y ≤ 1

  x + 1 ≥ 0

  ，则z=x+2y的最小值为（　　）

  A．3

  B．1

  C．-5

  D．-6
  组卷：264引用：31难度：0.9

  解析

• 6．在区间[0，1]上随机取一个数x,则事件“

  cos

  πx

  2

  ≤

  1

  2

  ”发生的概率为（　　）

  A． 2 3

  B． 2 π

  C． 1 2

  D． 1 3
  组卷：94引用：4难度：0.9

  解析

• 7．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：566引用：22难度：0.9

  解析

三、解答题（共6小题，满分80分）

• 20．如图，设点F₁（-c,0）、F₂（c,0）分别是椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  1

  ）

  的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且

  P

  F

  1

  •

  P

  F

  2

  最小值为0．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）设直线l₁：y=kx+m,l₂：y=kx+n,若l₁、l₂均与椭圆C相切，证明：m+n=0；
  （3）在（2）的条件下，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：43引用：4难度：0.1

  解析

• 21．已知函数f（x）=

  - x 3 + x 2 + bx + c , （ x ＜ 1 ）

  alnx , （ x ≥ 1 ）

  的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
  （1）求实数b,c的值；
  （2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
  （3）对任意给定的正实数a,曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？
  组卷：292引用：7难度：0.1

  解析