沪教版高二（下）高考题单元试卷：第12章 圆锥曲线（08）

一、填空题（共4小题）

• 1．如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率

  e

  =

  2

  2

  ，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
  （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
  （Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
  组卷：663引用：7难度：0.1

  解析

• 2．已知直线y=a交抛物线y=x²于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为

  ．
  组卷：1043引用：25难度：0.5

  解析

• 3．设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于

  ．
  组卷：1316引用：13难度：0.5

  解析

• 4．椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c,若直线y=

  3

  （

  x

  +

  c

  ）

  与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于

  ．
  组卷：2463引用：44难度：0.5

  解析

二、解答题（共26小题）

• 5．已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），短轴的两个端点分别为B₁，B₂．
  （1）若△F₁B₁B₂为等边三角形，求椭圆C的方程；
  （2）若椭圆C的短轴长为2，过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且

  F

  1

  P

  ⊥

  F

  1

  Q

  ，求直线l的方程．
  组卷：1386引用：43难度：0.1

  解析

• 6．设椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  1

  -

  a

  2

  =

  1

  的焦点在x轴上
  （1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
  （2）设F₁，F₂分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₂P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
  组卷：1429引用：12难度：0.1

  解析

• 7．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，连接OB_i，过A_i作x轴的垂线与OB_i，交于点P_i（i∈N*，1≤i≤9）．
  （1）求证：点P_i（i∈N*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
  （2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．
  组卷：517引用：10难度：0.5

  解析

• 8．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F．
  （1）点A，P满足

  AP

  =

  -

  2

  FA

  ．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
  （2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
  组卷：816引用：7难度：0.3

  解析

• 9．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  3

  2

  ，左、右焦点分别是F₁，F₂，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）设椭圆E：

  x

  2

  4

  a

  2

  +

  y

  2

  4

  b

  2

  =1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
  （ⅰ）求|

  OQ

  OP

  |的值；
  （ⅱ）求△ABQ面积的最大值．
  组卷：5488引用：17难度：0.5

  解析

• 10．如图，椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为

  2

  2

  ．
  （Ⅰ）求椭圆E的方程；
  （Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
  组卷：10185引用：36难度：0.5

  解析

二、解答题（共26小题）

• 29．已知O为坐标原点，F为椭圆C：

  x

  2

  +

  y

  2

  2

  =

  1

  在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-

  2

  的直线l与C交于A、B两点，点P满足

  OA

  +

  OB

  +

  OP

  =

  0

  ．
  （Ⅰ）证明：点P在C上；
  （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
  组卷：2590引用：11难度：0.1

  解析

• 30．如图，椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  经过点P（1，

  3

  2

  ），离心率e=

  1

  2

  ，直线l的方程为x=4．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
  组卷：4946引用：77难度：0.1

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