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2023年东北三省三校黑龙江省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的

1．已知集合A={x∈Z|x²-x-2≤0}，集合
B
=
{
x
|
y
=
1
-
log
2
x
}
，则A∩B=（　　）
A．[-1，2] B．（1，2] C．{1，2} D．{-1，1，2}
组卷：411引用：5难度：0.8
解析
2．已知i为虚数单位，复数z满足|z-（3+2i）|=1，则复数z对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：99引用：5难度：0.7
解析
3．已知非零向量
a
，
b
满足
（
a
+
2
b
）
⊥
（
a
-
2
b
）
，且向量
b
在向量
a
方向的投影向量是
1
4
a
，则向量
a
与
b
的夹角是（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
2
D．
2
π
3
组卷：509引用：10难度：0.6
解析
4．杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等．

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.1+1+1+…+1=n；
1
+
2
+
3
+
…
+
C
1
n
-
1
=
C
2
n

若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列{a_n}，则关于数列{a_n}叙述正确的是（　　）
A．
a
n
+
a
n
+
1
=
（
n
+
1
）
2
B．
a
n
+
a
n
+
1
=
n
2
C．数列{a_n}的前n项和为
C
3
n
D．数列{a_n}的前n项和为
C
2
n
+
1
组卷：133引用：3难度：0.7
解析
5．若
sin
（
2
α
+
π
6
）
+
cos
2
α
=
3
，则tanα=（　　）
A．
3
3
B．1 C．
2
-
3
D．
2
+
3
组卷：195引用：2难度：0.8
解析
6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知
AB
=
3
2
2
，则该半正多面体外接球的表面积为（　　）
A．18π B．16π C．14π D．12π
组卷：277引用：8难度：0.6
解析
7．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（　　）
A．
1
8
B．
1
4
C．
3
8
D．
3
4
组卷：74引用：3难度：0.7
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

21．已知双曲线C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
过点
A
（
3
，-
2
）
，且渐近线方程为
x
±
3
y
=
0
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，过点B（1，0）的直线l交双曲线C于点M、N．直线MA、NA分别交直线x=1于点P、Q，求
|
PB
|
|
BQ
|
的值．
组卷：142引用：3难度：0.5
解析
22．已知函数
f
（
x
）
=
a
2
e
2
x
+
（
a
-
2
）
e
x
-
x
2
2
，f'（x）为函数f（x）的导函数．
（1）讨论f'（x）的单调性；
（2）若x₁，x₂（x₁＜x₂）为f（x）的极值点，证明：
x
2
-
x
1
＜
ln
（
3
-
a
）
-
lna
+
2
a
-
1
．
组卷：149引用：2难度：0.5
解析

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2023年东北三省三校黑龙江省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的

1．已知集合A={x∈Z|x2-x-2≤0}，集合B={x|y=1-log2x}，则A∩B=（ ）

2．已知i为虚数单位，复数z满足|z-（3+2i）|=1，则复数z对应的点在（ ）

3．已知非零向量a，b满足（a+2b）⊥（a-2b），且向量b在向量a方向的投影向量是14a，则向量a与b的夹角是（ ）

5．若sin（2α+π6）+cos2α=3，则tanα=（ ）

7．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（ ）

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

21．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）过点A（3，-2），且渐近线方程为x±3y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）如图，过点B（1，0）的直线l交双曲线C于点M、N．直线MA、NA分别交直线x=1于点P、Q，求|PB||BQ|的值．

22．已知函数f（x）=a2e2x+（a-2）ex-x22，f'（x）为函数f（x）的导函数．（1）讨论f'（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）为f（x）的极值点，证明：x2-x1＜ln（3-a）-lna+2a-1．

1．已知集合A={x∈Z|x²-x-2≤0}，集合
B
=
{
x
|
y
=
1
-
log
2
x
}
，则A∩B=（　　）

2．已知i为虚数单位，复数z满足|z-（3+2i）|=1，则复数z对应的点在（　　）

3．已知非零向量
a
，
b
满足
（
a
+
2
b
）
⊥
（
a
-
2
b
）
，且向量
b
在向量
a
方向的投影向量是
1
4
a
，则向量
a
与
b
的夹角是（　　）

5．若
sin
（
2
α
+
π
6
）
+
cos
2
α
=
3
，则tanα=（　　）

7．某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（　　）

22．已知函数
f
（
x
）
=
a
2
e
2
x
+
（
a
-
2
）
e
x
-
x
2
2
，f'（x）为函数f（x）的导函数．
（1）讨论f'（x）的单调性；
（2）若x₁，x₂（x₁＜x₂）为f（x）的极值点，证明：
x
2
-
x
1
＜
ln
（
3
-
a
）
-
lna
+
2
a
-
1
．