2022-2023学年北京五十七中高二（下）期中数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|0≤x≤3}，则A∪B=（　　）

  A．[0，1）

  B．[0，1]

  C．（-1，3]

  D．（-1，3）
  组卷：113引用：4难度：0.8

  解析

• 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，-1），则i•z=（　　）

  A．1+i

  B．-1-i

  C．1-i

  D．-1+i
  组卷：110引用：3难度：0.8

  解析

• 3．在等差数列{a_n}中，a₂=1，a₅=5，则a₈=（　　）

  A．9

  B．11

  C．13

  D．15
  组卷：99引用：1难度：0.9

  解析

• 4．已知双曲线

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率是2，则b=（　　）

  A．12

  B． 2 3

  C． 3

  D． 3 2
  组卷：466引用：4难度：0.9

  解析

• 5．若点M（1，1）为圆C：x²+y²-4x=0的弦AB的中点，则直线AB的方程是（　　）

  A．x-y-2=0

  B．x+y-2=0

  C．x-y=0

  D．x+y=0
  组卷：426引用：3难度：0.8

  解析

• 6．已知平面向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  2

  ，|

  b

  |=1，且

  a

  与

  b

  的夹角为

  2

  3

  π

  ，则

  |

  a

  +

  b

  |

  =（　　）

  A． 3

  B． 5

  C． 7

  D．3
  组卷：107引用：1难度：0.8

  解析

• 7．函数y=2^|x|sin2x的图象可能是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：8012引用：113难度：0.7

  解析

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

• 20．已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3），具有性质P：对任意i,j（1≤i≤j≤n）a_j+a_i与a_j-a_i，两数中至少有一个是该数列中的一项，S_n为数列A的前n项和．
  （Ⅰ）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P；
  （Ⅱ）证明：a₁=0，且S_n=

  n

  a

  n

  2

  ；
  （Ⅲ）证明：当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等差数列．
  组卷：231引用：2难度：0.2

  解析

• 21．已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），若集合

  A

  =

  {

  a

  1

  ，

  a

  2

  ，

  a

  3

  ，…，

  a

  m

  }

  （

  m

  ∈

  N

  *

  ）

  ，且对任意的b∈M，存在a_i，a_j∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ₁a_i+λ₂a_j（其中λ₁，λ₂∈{-1，0，1}），则称集合A为集合M的一个m元基底．
  （Ⅰ）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；
  ①A={1，5}M={1，2，3，4，5}；
  ②A={2，3}，M={1，2，3，4，5，6}．
  （Ⅱ）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m（m+1）≥n；
  （Ⅲ）若集合A为集合M={1，2，3，…，19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并写出当m取最小值时M的一个基底A．
  组卷：132引用：6难度：0.1

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