2022-2023学年北京八中高三（上）开学诊断数学试卷（9月份）

一、选择题（每题的四个备选答案中只有一个答案正确）

• 1．已知集合A=

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  -

  1

  }

  ，集合B={x||x|＜2}，则A∩B=（　　）

  A．R

  B．∅

  C．[1，2]

  D．[1，2）
  组卷：89引用：4难度：0.9

  解析

• 2．命题“∀x∈[0，+∞），x³+x≥0”的否定是（　　）

  A．∀x∈（-∞，0），x3+x＜0	B．∀x∈（-∞，0），x3+x≥0
  C．∃x0∈[0，+∞）， x 3 0 +x0＜0	D．∃x0∈[0，+∞）， x 3 0 +x0≥0
  组卷：2110引用：77难度：0.9

  解析

• 3．已知复数

  z

  =

  a

  +

  i

  2

  -

  i

  ∈

  R

  （其中a为实数，i为虚数单位），则a=（　　）

  A．-2

  B． - 1 2

  C． 1 2

  D．2
  组卷：43引用：6难度：0.8

  解析

• 4．等边三角形ABC的边长为1，

  AB

  =

  a

  ，

  BC

  =

  b

  ，则

  a

  •

  b

  的值为（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． - 3 2

  D． 3 2
  组卷：343引用：3难度：0.7

  解析

• 5．已知数列{a_n}是等差数列、数列{b_n}是等比数列，若a₃+a₆+a₉=6，b₂b₅b₈=8，则

  a

  4

  +

  a

  8

  b

  1

  b

  9

  的值是（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C．2

  D．4
  组卷：261引用：6难度：0.7

  解析

• 6．函数y=（3^x-3^-x）cosx在区间[-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]的图像大致为（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：2647引用：15难度：0.6

  解析

• 7．已知函数f（x）=2sin（2x+φ），

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ，那么“

  |

  φ

  |

  =

  π

  6

  ”是“f（x）在

  [

  -

  π

  6

  ，

  π

  6

  ]

  上是增函数”的（　　）

  A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
  C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：377引用：4难度：0.6

  解析

三、解答题

• 20．已知函数f（x）=

  lnx

  +

  a

  x

  +

  1

  ．
  （Ⅰ）若f'（1）=

  1

  4

  ，求a的值；
  （Ⅱ）当a＞2时，
  ①求证：f（x）有唯一的极值点x₁；
  ②记f（x）的零点为x₀，是否存在a使得

  x

  1

  x

  0

  ≤e²？说明理由．
  组卷：732引用：4难度：0.4

  解析

• 21．对于各项均为整数的数列{a_n}，如果满足a_m+m（m=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{a_n}具有“M性质”；不论数列{a_n}是否具有“M性质”，如果存在与{a_n}不是同一数列的{b_n}，且{b_n}同时满足下面两个条件：①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一个排列；②数列{b_n}具有“M性质”，则称数列{a_n}具有“变换M性质”．
  （Ⅰ）设数列{a_n}的前n项和

  S

  n

  =

  n

  3

  （

  n

  2

  -

  1

  ）

  ，证明数列{a_n}具有“M性质”；
  （Ⅱ）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换M性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{b_n}，不具此性质的说明理由；
  （Ⅲ）对于有限项数列A：1，2，3，…，n,某人已经验证当n∈[12，m²]（m≥5）时，数列A具有“变换M性质”，试证明：当n∈[m²+1，（m+1）²]时，数列A也具有“变换M性质”．
  组卷：330引用：3难度：0.1

  解析