2023-2024学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

• 1．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（　　）

  A．16

  B．12

  C． 4 + 8 2

  D． 4 + 4 2
  组卷：386引用：9难度：0.9

  解析

• 2．已知m,n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

  A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β	B．n∥m,n⊥α⇒m⊥α
  C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α	D．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
  组卷：325引用：10难度：0.6

  解析

• 3．如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为

  1

  2

  ，圆柱部分的高为2，底面圆的半径为1，则该组合体的体积为（　　）

  A． π 3

  B．2π

  C． 13 π 6

  D． 5 π 2
  组卷：189引用：5难度：0.7

  解析

• 4．已知

  a

  ，

  b

  ，

  c

  是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　）

  A．3 a ， a - b ， a +2 b	B．2 b ， b -2 a ， b +2 a
  C． a ，2 b ， b - c	D． c ， a + c ， a - c
  组卷：506引用：19难度：0.7

  解析

• 5．已知x,y∈R，向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  3

  ，-

  6

  ，

  3

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，则

  |

  a

  +

  b

  |

  =（　　）

  A． 2 2

  B． 2 3

  C．4

  D．3
  组卷：585引用：25难度：0.7

  解析

• 6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AB₁与平面ACC₁A₁所成的角为（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  组卷：174引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

• 18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁，M为AB的中点，D在A₁B₁上且A₁D=3DB₁．
  （1）求证：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；
  （2）求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；
  （3）求二面角B-CD-M的余弦值．
  组卷：105引用：2难度：0.4

  解析

• 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=2，∠ABC=2∠BAD，∠PDC=

  π

  2

  ，点M为棱DP的中点．
  （1）在棱BC上是否存在一点N，使得CM∥平面PAN，并说明理由；
  （2）若PB⊥AC，二面角B-CM-D的余弦值为

  6

  6

  时，求点A到平面BCM的距离．
  组卷：193引用：7难度：0.5

  解析