2023-2024学年上海市高三（上）一模数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

• 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则

  A

  ∩

  B

  =

  ．
  组卷：4引用：1难度：0.8

  解析

• 2．已知直线l₁：（m-2）x-3y-0=0与直线l₂：mx+（m+2）y+1=0相互平行，则实数m的值是

   

  ．
  组卷：17引用：1难度：0.7

  解析

• 3．在正项等比数列{a_n}中，

  a

  2

  5

  +2a₆a₈+

  a

  2

  9

  =100，则a₅+a₉=

   

  ．
  组卷：4引用：2难度：0.8

  解析

• 4．如图是甲、乙两人在5次技能测评中的成绩茎叶图，其中乙的一个成绩数据被污损．假设被污损数据取到任何可能值的概率相等，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是

  ．
  组卷：10引用：1难度：0.7

  解析

• 5．已知（1-2x）ⁿ的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含x³的系数为

  ．
  组卷：24引用：1难度：0.5

  解析

• 6．已知平面向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  |

  =

  3

  ，

  |

  b

  |

  =

  4

  且向量

  a

  ，

  b

  的夹角为

  π

  3

  ，则

  2

  a

  +

  b

  在

  a

  方向上的数量投影为

  ．
  组卷：6引用：1难度：0.8

  解析

• 7．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，若A、B、C均互不相邻，则不同的排法有

  种．（用数字作答）
  组卷：33引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题（共5小题，满分78分）

• 20．已知椭圆

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点B（0，b）且与直线BF₂垂直的直线交x轴负半轴于D，且

  2

  F

  1

  F

  2

  +

  F

  2

  D

  =

  0

  ．
  （1）求椭圆Γ的离心率；
  （2）若过B、D、F₂三点的圆恰好与直线

  l

  ：

  x

  -

  3

  y

  -

  6

  =

  0

  相切，求椭圆Γ的方程；
  （3）设a=2．过椭圆Γ右焦点F₂且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
  组卷：9引用：1难度：0.3

  解析

• 21．已知函数f（x）=alnx+

  1

  x

  ，a∈R．
  （1）若a=2，且直线y=x+m是曲线y=f（x）的一条切线，求实数m的值；
  （2）若不等式f（x）＞1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
  （3）若函数h（x）=f（x）-x有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且h（x₂）-h（x₁）≤

  4

  e

  ，求a的取值范围．
  组卷：2引用：1难度：0.1

  解析