2021-2022学年河南省南阳市南召第一高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

• 1．已知i为虚数单位，a,b∈R，若（a+2i）i=b+2i,则|a+bi|=（　　）

  A． 2 2

  B．0

  C．2

  D．4
  组卷：46引用：2难度：0.8

  解析

• 2．下列函数的求导不正确的是（　　）

  A．（x-2）′=-2x-3	B．（xcosx）′=cosx-xsinx
  C． （ ln 10 ） ′ = 1 10	D．（2ex）′=2ex
  组卷：54引用：4难度：0.8

  解析

• 3．利用反证法证明“已知a₁+a₂+a₃+a₄+a₅≥100，求证：a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（　　）

  A．a1，a2，a3，a4，a5均不大于20

  B．a1，a2，a3，a4，a5都小于20

  C．a1，a2，a3，a4，a5不都大于20

  D．a1，a2，a3，a4，a5至多有一个小于20
  组卷：12引用：2难度：0.8

  解析

• 4．若y=ax+b是f（x）=xlnx的切线，则a+b的取值范围为（　　）

  A．[-1，+∞）

  B．[1，+∞）

  C．（-∞，0]

  D．[-1，0]
  组卷：48引用：2难度：0.6

  解析

• 5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（　　）

  A．甲

  B．乙

  C．丙

  D．丁
  组卷：80引用：2难度：0.5

  解析

• 6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式y=lnx-x-

  12

  x

  +9，要使年利润最大，小李应向银行贷款（　　）

  A．3万元

  B．4万元

  C．5万元

  D．6万元
  组卷：42引用：2难度：0.7

  解析

• 7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr,二维测度（面积）S=πr²；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr²，三维测度（体积）

  V

  =

  4

  3

  π

  r

  3

  ．应用类比推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度V=12πr³，则其四维测度W=（　　）

  A．4πr4

  B．3πr4

  C．2πr4

  D．πr4
  组卷：154引用：8难度：0.8

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三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知函数f（x）=e^x，g（x）=-cosx.
  （1）讨论函数

  F

  （

  x

  ）

  =

  g

  （

  x

  ）

  f

  （

  x

  ）

  的单调性；
  （2）设函数G（x）=f（x）+g（x）-ax（a∈R），若G（x）在

  [

  -

  π

  2

  ，

  +

  ∞

  ）

  上为增函数，求实数a的取值范围．
  组卷：97引用：3难度：0.6

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• 22．如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y=

  x

  上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是等腰直角三角形，其中P_i为直角顶点，A₀是坐标原点．
  
  （1）写出a₁、a₂、a₃；
  （2）猜想点A_n（a_n，0）（n∈N^*）的横坐标a_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
  组卷：55引用：1难度：0.3

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