2022年山西省强基计划模拟试卷（五）

一、选择题：（每小题6分，共36分）

• 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若

  sin

  （

  A

  +

  C

  ）

  （

  cos

  B

  b

  +

  cos

  C

  c

  ）

  =

  sin

  A

  sin

  C

  ，

  B

  =

  π

  3

  ，则a+c的取值范围是（　　）

  A． （ 3 2 ， 3 ]

  B． （ 3 2 ， 3 ]

  C． [ 3 2 ， 3 ]

  D． [ 3 2 ， 3 ]
  组卷：458引用：8难度：0.6

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• 2．定义数列{a_n}如下：存在k∈N^*，满足a_k＜a_k+1，且存在s∈N^*，满足a_s＞a_s+1，已知数列{a_n}共4项，若a_i∈{t,x,y,z}（i=1，2，3，4）且t＜x＜y＜z,则数列{a_n}共有（　　）

  A．190个

  B．214个

  C．228个

  D．252个
  组卷：486引用：3难度：0.5

  解析

• 3．已知正项数列{a_n}中，a₁=1，

  a

  n

  =

  1

  -

  a

  2

  n

  +

  1

  2

  a

  n

  +

  1

  ，若存在实数t,使得t∈（a_2n，a_2n-1）对任意的n∈N^*恒成立，则t=（　　）

  A． 3 3

  B． 2 3

  C． 2 2

  D． 3 2
  组卷：90引用：1难度：0.4

  解析

• 4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知△ABC是边长为1的等边三角形，AA₁=2，E，F分别在侧面AA₁B₁B和侧面AA₁C₁C内运动（含边界），且满足直线AA₁与平面AEF所成的角为30°，点A₁在平面AEF上的射影H在△AEF内（含边界）．令直线BH与平面ABC所成的角为θ，则tanθ的最大值为（　　）

  A． 3 （ 2 + 3 ）

  B． 3 3

  C． 3

  D． 3 （ 2 - 3 ）
  组卷：217引用：1难度：0.4

  解析

• 5．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  右顶点为A（2，0），上顶点为B，该椭圆上一点P与A的连线的斜率

  k

  1

  =

  -

  1

  4

  ，AP的中点为E，记OE的斜率为k_OE，且满足k_OE+4k₁=0，若C、D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则三角形COD面积的最大值是（　　）

  A． 3 - 2 2

  B． 3 + 2 2

  C． 2 - 2

  D． 3 - 2 2 2
  组卷：800引用：3难度：0.3

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• 6．已知函数f（x）=（x²-2x）e^x-1，若当x＞1时，f（x）-mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（　　）

  A．m≤1

  B．m＜-1

  C．m＞-1

  D．m≥1
  组卷：271引用：3难度：0.5

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二、（50分）

• 17．给定由正整数组成的数列

  a 1 = 1 ， a 2 = 2

  a n + 2 = a n + 1 + a n

  （n≥1）．
  （1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点（a₁，a₂），（a₃，a₄），…，（a_2k-1，a_2k），…均在曲线x²+xy-y²+1=0上．
  （2）若设f（x）=xⁿ+x^n-1-a_nx-a_n-1，g（x）=x²-x-1，证明：g（x）整除f（x）．
  组卷：50引用：1难度：0.4

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三、（50分）

• 18．我们称A₁，A₂，…，A_n为集合A的一个n分划，如果
  （1）A₁∪A₂∪⋯∪A_n=A；
  （2）A_i∩A_j≠∅，1≤i＜j≤n.
  求最小正整数m,使得对A={1，2，…，m}的任意一个13分划A₁，A₂，…，A₁₃，一定存在某个集合A_i（1≤i≤13），在A_i中有两个元素a、b满足b＜a≤

  9

  8

  b.
  组卷：94引用：1难度：0.6

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