2023年北京市西城区高考数学二模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．复数z=i•（1+i）的虚部为（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  组卷：219引用：9难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={x|3^x＜1}，则A∪B=（　　）

  A．[-1，0）

  B．（-∞，0）

  C．[-1，1]

  D．（-∞，1]
  组卷：434引用：7难度：0.8

  解析

• 3．已知抛物线C与抛物线y²=4x关于y轴对称，则C的准线方程是（　　）

  A．x=-2

  B．x=2

  C．x=-1

  D．x=1
  组卷：234引用：2难度：0.7

  解析

• 4．在△ABC中，AB=AC=1，∠A=90°，则

  AB

  •

  BC

  =（　　）

  A．1

  B．-1

  C． 2

  D．- 2
  组卷：416引用：4难度：0.8

  解析

• 5．设a=lg

  2

  3

  ，b=

  lg

  3

  •

  lg

  2

  ，c=

  1

  2

  lg6，则（　　）

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．a＜c＜b

  D．b＜c＜a
  组卷：603引用：1难度：0.5

  解析

• 6．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，折起后点D记为D'．若BD'=2，则四面体ABCD'的体积为（　　）

  A． 2 2 3

  B． 2 3

  C．2 2

  D． 2
  组卷：546引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知数轴上两点O，P的坐标为0（0），P（70），现O，P两点在数轴上同时相向运动．点O的运动规律为第一秒运动2个单位长度，以后每秒比前一秒多运动1个单位长度；点P的运动规律为每秒运动5个单位长度．则点O，P相遇时在数轴上的坐标为（　　）

  A．（40）

  B．（35）

  C．（30）

  D．（20）
  组卷：193引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 20．已知函数f（x）=x²+ln（x+1）．
  （Ⅰ）求f（x）在区间

  [

  -

  1

  2

  ，

  0

  ]

  上的最大值和最小值；
  （Ⅱ）若（e^x+acosx）f（x）≥0恒成立，求实数a的值．
  组卷：937引用：4难度：0.3

  解析

• 21．给定奇数n≥3，设A₀是n×n的数阵．a_ij表示数阵第i行第j列的数，a_ij=

  1 或 - 1 ， i ≠ j ,

  0 ， i = j ,

  且a_ij=a_ji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n）．定义变换φ_t为“将数阵中第t行和第t列的数都乘以-1”，其中t∈{1，2，…，n}．
  设T=（t₁，t₂，…，t_s），t_r∈{1，2，…，n}，r=1，2，…，s（s∈N^*）．将A₀经过

  φ

  t

  1

  变换得到A₁，A₁经过

  φ

  t

  2

  变换得到A₂，…，A_s-1经过

  φ

  t

  s

  变换得到A_s．记数阵A_r中1的个数为

  T

  A

  0

  （r）．
  （Ⅰ）当n=3时，设A₀=

  0	1	- 1
  1	0	1
  - 1	1	0

  ，T=（1，3），写出A₁，A₂，并求

  T

  A

  0

  （

  1

  ）

  ，

  T

  A

  0

  （2）；
  （Ⅱ）当n=5，s≥2时，对给定的数阵A₀，证明：

  T

  A

  0

  （

  2

  ）

  -

  T

  A

  0

  （1）是4的倍数；
  （Ⅲ）证明：对给定的数阵A₀，总存在T，使得

  T

  A

  0

  （

  s

  ）

  ≤

  （

  n

  -

  1

  ）

  2

  2

  ．
  组卷：295引用：2难度：0.3

  解析