2022年湖南省长沙市天心区长郡中学高考数学模拟试卷（一）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．若复数z满足z=

  4

  +

  2

  i

  1

  +

  i

  ，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：68引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x|y=ln（x-2）}，集合

  B

  =

  {

  y

  |

  y

  =

  （

  1

  2

  ）

  x

  ，

  x

  ＞

  -

  3

  }

  ，则A∩B=（　　）

  A．∅

  B．（2，8）

  C．（3，8）

  D．（8，+∞）
  组卷：183引用：4难度：0.9

  解析

• 3．已知

  a

  =

  7

  -

  1

  3

  ，b=log₇2-2log₇3，

  c

  =

  （

  1

  7

  ）

  1

  2

  ，则下列关系正确的是（　　）

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．c＜b＜a

  D．b＜c＜a
  组卷：128引用：5难度：0.8

  解析

• 4．已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x+y+3=0平行，则

  sinα

  -

  cosα

  sinα

  +

  cosα

  的值为（　　）

  A．-2

  B． - 1 4

  C．2

  D．3
  组卷：264引用：4难度：0.7

  解析

• 5．数学上定义的距离都意味着最短，如平面上两点的距离定义为连接两点的线段的长度，球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆指的是经过球心的平面截得的圆），我们把这个弧长叫做两点间的球面距离．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC，PA=AB=4．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，则B，C两点的球面距离是（　　）

  A． 2 π 3

  B． 2 2 π 3

  C．π

  D． 2 π
  组卷：164引用：4难度：0.7

  解析

• 6．教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）

  A．60种

  B．78种

  C．54种

  D．84种
  组卷：149引用：2难度：0.8

  解析

• 7．若双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一条渐近线被圆（x+2）²+y²=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）

  A． 2 3 3

  B． 2

  C． 3

  D．2
  组卷：373引用：11难度：0.7

  解析

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知抛物线Γ：y²=2px（p＞0）和圆C：（x-2）²+y²=4，点P是Γ上的动点，当直线OP的斜率为1时，△POC的面积为4．
  （1）求抛物线Γ的方程；
  （2）若M、N是y轴上的动点，且圆C是△PMN的内切圆，求△PMN面积的最小值．
  组卷：232引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=xlnx-ax²（a∈R）．
  （1）若f（x）在定义域内有2个零点，求a的取值范围；
  （2）若∃p∈（0，+∞），函数g（x）=x^p•f（x）在定义域内单调递减，求a的取值范围．
  组卷：119引用：1难度：0.3

  解析