2023-2024学年上海市松江一中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）．

• 1．已知z=1+i,则|z|=

  ．
  组卷：18引用：8难度：0.9

  解析

• 2．函数f （x）=

  1

  x

  +

  1

  +lnx的定义域是

  ．
  组卷：3526引用：33难度：0.9

  解析

• 3．记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若2S₃=3S₂+6，则公差d=

  ．
  组卷：4698引用：13难度：0.8

  解析

• 4．函数f（x）=2x²-1的极值点为

  ．
  组卷：100引用：3难度：0.6

  解析

• 5．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x，则f（-2）=

  ．
  组卷：60引用：2难度：0.7

  解析

• 6．已知向量

  a

  与

  b

  的夹角是120°，|

  a

  |=3，|

  a

  +

  b

  |=

  13

  ，则|

  b

  |=

   

  ．
  组卷：431引用：17难度：0.7

  解析

• 7．已知tanα=

  1

  3

  ，tanβ=-

  1

  7

  ，则tan（2α-β）的值为

   

  ．
  组卷：49引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率e=

  2

  2

  ，直线l交椭圆C于A、B两点，O为坐标原点．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若l不过O点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
  （3）若OA⊥OB，求△AOB面积的取值范围．
  组卷：154引用：4难度：0.2

  解析

• 21．.已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=sinx-ax（a∈R）．
  （1）求f（x）的最大值；
  （2）若对∀x₁∈（0，+∞），总存在

  x

  2

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数a的取值范围；
  （3）证明不等式

  sin

  （

  1

  n

  ）

  n

  +

  sin

  （

  2

  n

  ）

  n

  +

  …

  +

  sin

  （

  n

  n

  ）

  n

  ＜

  e

  e

  -

  1

  （其中e是自然对数的底数）．
  组卷：318引用：3难度：0.2

  解析