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2023年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（二）

发布：2024/5/7 8:0:9

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|x²＜2x}，集合B={x|log₂（x-1）＜1}，则A∩B=（　　）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|1＜x＜2} C．{x|2≤x＜3} D．{x|0＜x＜2}
组卷：116引用：5难度：0.8
解析
2．设复数z满足z•（1-i）=2+i,则
z
的虚部是（　　）
A．
3
2
B．3 C．
-
3
2
D．4
组卷：34引用：2难度：0.8
解析
3．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（　　）
A．
1
5
B．
2
5
C．
1
2
D．
4
5
组卷：3437引用：16难度：0.8
解析
4．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，AC=BC=4，PA=2，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，则该鞠（球）的表面积为（　　）
A．49π B．64π C．36π D．16π
组卷：114引用：3难度：0.7
解析
5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=A₅A₆=A₆A₇=A₇A₈=⋯=2，A₁，A₂，A₃⋯为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{a_n}，令
b
n
=
2
a
n
-
2
，
S
n
为数列{b_n}的前n项和，则S₁₂₀=（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
组卷：133引用：5难度：0.6
解析
6．函数f（x）=2sin（ωx+
π
6
）（ω∈R）恒有f（x）≤f（2π），且f（x）在[-
π
6
，
π
3
]上单调递增，则ω的值为（　　）
A．-
5
6
B．
1
6
C．
7
6
D．
1
6
或
7
6
组卷：365引用：3难度：0.6
解析
7．已知函数f（x）=（mx-1）e^x-x²，若不等式f（x）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围（　　）
A．（
2
e
2
+
1
2
，
1
e
+1） B．[
2
e
2
+
1
2
，
1
e
+1）
C．[
3
e
3
+
1
3
，
2
e
2
+
1
2
） D．（
3
e
3
+
1
3
，
2
e
2
+
1
2
）
组卷：657引用：6难度：0.3
解析

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四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了A，B两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别．记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为P₁，P₂．为测试AI软件的识别能力，计划采取两种测试方案．
方案一：将100首音乐随机分配给A，B两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌，A，B两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．
（1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的
3
5
；在正确识别的音乐数中，A组占
2
3
；在错误识别的音乐数中，B组占
1
2
．
（ⅰ）请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并根据α=0.05的独立性检验，能否认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？

正确识别错误识别合计

A组软件

B组软件

合计 100

（ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；
（2）研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设
P
1
+
P
2
=
4
3
，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时P₁，P₂的值．附：
χ
2
=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
，其中n=a+b+c+d.

α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001

x_α 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

组卷：90引用：4难度：0.5

解析

22．已知函数f（x）=（cosx-1）e^-x，g（x）=ax²+（1-e^x）x（a∈R）．
（1）当x∈（0，π）时，求函数f（x）的最小值；
（2）当
x
∈
[
-
π
2
，
+
∞
）
时，不等式
xf
（
x
）
≥
g
（
x
）
e
x
恒成立，求实数a的取值范围．
组卷：216引用：4难度：0.4
解析