人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（30）

一、填空题（共1小题）

• 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax²上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n=

  （用含a的代数式表示）．
  组卷：2791引用：55难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 2．如图，已知直线y=x与抛物线

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  交于A、B两点．
  （1）求交点A、B的坐标；
  （2）记一次函数y=x的函数值为y₁，二次函数

  y

  =

  1

  2

  x

  2

  的函数值为y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范围；
  （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．
  组卷：429引用：54难度：0.5

  解析

• 3．如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．
  （1）求A、D两点的坐标；
  （2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；
  （3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：350引用：50难度：0.5

  解析

• 4．如图，抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．
  （1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；
  （2）若△ACD的面积为3．
  ①求抛物线的解析式；
  ②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．
  组卷：930引用：52难度：0.5

  解析

• 5．如图1，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）²+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x-h）²+2-h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．
  （1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；
  （2）设交点C的横坐标为m.
   ①交点C的纵坐标可以表示为：

   

  或

   

  ，由此进一步探究m关于h的函数关系式；
   ②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．
  
  组卷：754引用：51难度：0.5

  解析

• 6．如图，在平面直角坐标系中，直线y=

  1

  2

  x+

  3

  2

  与直线y=x交于点A，点B在直线y=

  1

  2

  x+

  3

  2

  上，∠BOA=90°．抛物线y=ax²+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
  （1）求点A，B的坐标；
  （2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
  （3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
  组卷：387引用：51难度：0.5

  解析

• 7．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，-4）．        
  （1）求该二次函数的解析式；
  （2）当y＞-3，写出x的取值范围； 
  （3）A、B为直线y=-2x-6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．
  组卷：628引用：51难度：0.5

  解析

• 8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．
  （1）求证：CD是⊙M的切线；
  （2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
  （3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S_△QAM=

  1

  6

  S_△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：471引用：51难度：0.5

  解析

• 9．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
  （1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
  （2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
  （3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．
  组卷：663引用：52难度：0.5

  解析

• 10．如图，抛物线y=-x²+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
  （1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
  （2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
  （3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
  组卷：536引用：52难度：0.5

  解析

二、解答题（共29小题）

• 29．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
  组卷：1289引用：76难度：0.1

  解析

• 30．如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-

  5

  2

  ）三点．
  （Ⅰ）求抛物线的解析式；
  （Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
  （Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：3179引用：92难度：0.3

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