2022-2023学年江苏省泰州市田家炳实验中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知A（0，-1），B（0，3），则|

  AB

  |=（　　）

  A．2

  B． 10

  C．4

  D．2 10
  组卷：833引用：6难度：0.9

  解析

• 2．cos²15°-sin²15°+sin15°cos15°的值等于（　　）

  A． 3 4

  B． 5 4

  C． 1 + 2 3 4

  D． 4 + 3 4
  组卷：425引用：3难度：0.9

  解析

• 3．设

  e

  1

  ，

  e

  2

  为平面内一个基底，已知向量

  AB

  =

  e

  1

  -

  k

  e

  2

  ，

  CB

  =

  4

  e

  1

  -

  2

  e

  2

  ，

  CD

  =

  3

  e

  1

  -

  3

  e

  2

  ，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　）

  A．2

  B．1

  C．-2

  D．-1
  组卷：228引用：6难度：0.6

  解析

• 4．在△ABC中，已知C=45°，b=

  2

  ，c=2，则角B为（　　）

  A．30°或150°

  B．60°

  C．30°

  D．60°或120°
  组卷：689引用：8难度：0.7

  解析

• 5．若tanα=

  1

  3

  ，tan（α+β）=

  1

  2

  ，则tanβ=（　　）

  A． 1 7

  B． 1 6

  C． 5 7

  D． 5 6
  组卷：9192引用：54难度：0.9

  解析

• 6．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为AA₁的中点，则异面直线AB₁与ED所成的角的余弦值为（　　）

  A． 3 2

  B． 1 2

  C． 5 5

  D． 10 10
  组卷：189引用：1难度：0.8

  解析

• 7．在△ABC中，

  co

  s

  2

  B

  2

  =

  a

  +

  c

  2

  c

  （a,b,c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）

  A．等边三角形

  B．直角三角形

  C．等腰三角形或直角三角形

  D．等腰直角三角形
  组卷：1238引用：64难度：0.7

  解析

四、解答题：（17题10分，18、19、20、21、22题每题12分，计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

• 21．如图，某公园改建一个三角形鱼塘，∠C=90°，AB=2，BC=1，现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
  （1）若在△ABC内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且

  ∠

  CPB

  =

  2

  π

  3

  ，求连廊AP+PC+PB的长；
  （2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F并连建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，若△DEF为正三角形，求△DEF面积S的最小值．
  组卷：150引用：5难度：0.5

  解析

• 22．如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且

  BP

  =

  1

  4

  BC

  ，点Q为线段AP上一点．
  （1）若

  AQ

  =

  λ

  AB

  +

  1

  12

  AC

  ，求实数λ的值；
  （2）求

  QA

  •

  QC

  的最小值．
  组卷：245引用：4难度：0.5

  解析