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沪教版高二（下）高考题同步试卷：12.8 抛物线的性质（02）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（共5小题）

1．椭圆C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（　　）
A．
[
1
2
，
3
4
]
B．
[
3
8
，
3
4
]
C．
[
1
2
，
1
]
D．
[
3
4
，
1
]
组卷：4008引用：47难度：0.7
解析
2．如图，设抛物线y²=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）
A．
|
BF
|
-
1
|
AF
|
-
1
B．
|
BF
|
2
-
1
|
AF
|
2
-
1
C．
|
BF
|
+
1
|
AF
|
+
1
D．
|
BF
|
2
+
1
|
AF
|
2
+
1
组卷：6261引用：24难度：0.7
解析
3．已知椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于
4
5
，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）
A．（0，
3
2
] B．（0，
3
4
] C．[
3
2
，1） D．[
3
4
，1）
组卷：5587引用：80难度：0.7
解析
4．已知点A（-2，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）
A．
1
2
B．
2
3
C．
3
4
D．
4
3
组卷：2390引用：14难度：0.9
解析
5．已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
OA
•
OB
=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．
17
2
8
D．
10
组卷：3515引用：48难度：0.7
解析

二、填空题（共5小题）

6．如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率
e
=
2
2
，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
组卷：663引用：7难度：0.1
解析
7．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y²=2px（p＞0）经过C，F两点，则
b
a
=
．
组卷：1838引用：22难度：0.7
解析
8．已知直线y=a交抛物线y=x²于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为
．
组卷：1043引用：25难度：0.5
解析
9．设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于
．
组卷：1317引用：13难度：0.5
解析
10．椭圆Γ：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c,若直线y=
3
（
x
+
c
）
与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于
．
组卷：2470引用：44难度：0.5
解析

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三、解答题（共20小题）

29．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（
2
，
3
）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2
2
），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
组卷：1203引用：13难度：0.3
解析
30．已知O为坐标原点，F为椭圆C：
x
2
+
y
2
2
=
1
在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-
2
的直线l与C交于A、B两点，点P满足
OA
+
OB
+
OP
=
0
．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
组卷：2601引用：11难度：0.1
解析

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沪教版高二（下）高考题同步试卷：12.8 抛物线的性质（02）

一、选择题（共5小题）

1．椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）

2．如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（ ）

3．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）

4．已知点A（-2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）

5．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA•OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）

二、填空题（共5小题）

7．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则ba=．

8．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．

9．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．

10．椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c,若直线y=3（x+c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．

三、解答题（共20小题）

30．已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足OA+OB+OP=0．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

1．椭圆C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
的左、右顶点分别为A₁、A₂，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（　　）

2．如图，设抛物线y²=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

3．已知椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于
4
5
，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

4．已知点A（-2，3）在抛物线C：y²=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）

5．已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
OA
•
OB
=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

7．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y²=2px（p＞0）经过C，F两点，则
b
a
=
．

8．已知直线y=a交抛物线y=x²于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为
．

9．设F为抛物线C：y²=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于
．

10．椭圆Γ：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c,若直线y=
3
（
x
+
c
）
与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，则该椭圆的离心率等于
．