2023-2024学年北京十三中高三（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

• 1．已知集合A={-1，0，1，2}，集合B={x∈Z|x²≤2}，则A∩B=（　　）

  A．{1}

  B．{0，1}

  C．{-1，0，1}

  D．{-1，0，1，2}
  组卷：43引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知复数

  a

  +

  i

  1

  +

  3

  i

  ，

  a

  ∈

  R

  是纯虚数，则在复平面中，复数z=a+i的共轭复数

  z

  对应的点坐标是（　　）

  A．（-3，-1）

  B．（-3，1）

  C．（1，-3）

  D．（1，3）
  组卷：65引用：3难度：0.7

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  a

  +

  b

  =

  （

  2

  ，

  x

  ）

  ，

  a

  -

  b

  =

  （

  -

  2

  ，

  1

  ）

  ，且

  |

  a

  |

  2

  -

  |

  b

  |

  2

  =

  -

  1

  ，则x=（　　）

  A．-3

  B．3

  C．-1

  D．1
  组卷：86引用：2难度：0.7

  解析

• 4．已知函数f（x）=x²+ln|x|，则f（x）（　　）

  A．是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数

  B．是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数

  C．是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数

  D．是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
  组卷：425引用：5难度：0.7

  解析

• 5．已知

  （

  2

  x

  +

  a

  x

  ）

  5

  的展开式中，x的系数为80，则a=（　　）

  A．-1

  B．±1

  C．±2

  D．2
  组卷：371引用：1难度：0.5

  解析

• 6．直线y=kx+2与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N两点，若

  |

  MN

  |

  ≥

  2

  3

  ，则k的取值范围是（　　）

  A． [ - 2 4 ， 2 4 ]	B． （ - ∞ ，- 2 4 ] ∪ [ 2 4 ， + ∞ ）
  C． [ - 1 3 ， 1 3 ]	D． （ - ∞ ，- 1 3 ] ∪ [ 1 3 ， + ∞ ）
  组卷：93引用：1难度：0.6

  解析

• 7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是线段A₁C₁上任意一点，则sin∠AED的值不可能是（　　）

  A． 2 2

  B． 5 3

  C． 5 5

  D． 3 3
  组卷：56引用：3难度：0.5

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共85分．

• 20．已知函数f（x）=x²-xsinx-cosx.
  （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
  （2）求函数f（x）的零点个数；
  （3）若对于任意

  x

  ∈

  [

  0

  ，

  π

  2

  ]

  ，ax²-xsinx-cosx+a≥0恒成立，求a的取值范围．
  组卷：166引用：1难度：0.2

  解析

• 21．已知有穷数列A：a₁，a₂，⋯，a_n（n≥3）中的每一项都是不大于n的正整数．对于满足1≤m≤n的整数m,令集合A（m）={k|a_k=m,k=1，2，⋯，n}．记集合A（m）中元素的个数为s（m）（约定空集的元素个数为0）．
  （Ⅰ）若A：6，3，2，5，3，7，5，5，求A（5）及s（5）；
  （Ⅱ）若

  1

  s

  （

  a

  1

  ）

  +

  1

  s

  （

  a

  2

  ）

  +

  ⋯

  +

  1

  s

  （

  a

  n

  ）

  =

  n

  ，求证：a₁，a₂，⋯，a_n互不相同；
  （Ⅲ）已知a₁=a,a₂=b,若对任意的正整数i,j（i≠j,i+j≤n）都有i+j∈A（a_i）或i+j∈A（a_j），求a₁+a₂+⋯+a_n的值．
  组卷：407引用：8难度：0.5

  解析