2010年竞赛辅导：平面几何的定值与最值问题

一、选择题（共2小题，每小题3分，满分6分）

• 1．如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为（　　）

  A． 2 3

  B． 13

  C． 14

  D． 15
  组卷：743引用：23难度：0.5

  解析

• 2．已知，如图，线段AB上有任一点M，分别以AM，BM为边长作正方形AMFE、MBCD．正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点，则直线MN的情况是（　　）

  A．定直线	B．经过定点
  C．一定不过定点	D．以上都有可能
  组卷：186引用：1难度：0.9

  解析

二、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）

• 3．用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7．作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线长的最大值是

   

  ．
  组卷：185引用：3难度：0.9

  解析

• 4．如图，⊙O的半径为

  2

  ，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS=

   

  ．
  组卷：967引用：10难度：0.7

  解析

三、解答题（共15小题，满分136分）

• 5．传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩．每天他都要从家所在的点A出发，到集市点B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像．古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O，而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图．这个信徒想，我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？
  组卷：84引用：1难度：0.7

  解析

• 6．如果△ABC的外接圆半径R一定，求证：

  abc

  S

  是定值．（S表示△ABC的面积）
  组卷：188引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（共15小题，满分136分）

• 18．如图，已知⊙O的半径为R，以⊙O上一点A为圆心，以r为半径作⊙A，又直径PQ与⊙A相切，切点为D，且交⊙O于P、Q．求证：AP•AQ为定值．
  组卷：298引用：2难度：0.5

  解析

• 19．如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，经过点B的一直线和两圆分别相交于点C和D，设此两圆的半径为R₁，R₂．求证：AC：AD=R₁：R₂．
  组卷：90引用：1难度：0.5

  解析