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2020-2021学年江苏省苏州市常熟中学高一（下）月考数学试卷（3月份）

发布：2024/12/13 7:30:1

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）

1．已知cosα+sin（α-
π
6
）=0，则tanα=（　　）
A．-
3
3
B．
3
3
C．-
3
D．
3
组卷：218引用：2难度：0.7
解析
2．已知向量
a
=
（
3
，
1
）
，
b
是单位向量，若|
a
+
b
|=
3
，则
a
与
b
的夹角为（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
2
π
3
D．
5
π
6
组卷：383引用：6难度：0.8
解析
3．设
a
，
b
不共线，
AB
=
a
+
3
b
，
BC
=
a
+
2
b
，
CD
=
3
a
+
m
b
，若A，C，D三点共线，则实数m的值是（　　）
A．
2
3
B．
1
5
C．
7
2
D．
15
2
组卷：833引用：4难度：0.8
解析
4．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a,b,c,若bsin（B+C）=2csinB，
cos
B
=
1
4
，b=2，则△ABC的面积为（　　）
A．
15
2
B．
9
15
16
C．
15
4
D．
7
4
组卷：561引用：2难度：0.7
解析
5．已知cos（
π
4
-
α
）=
3
5
，sin（
π
4
+
β
）=
12
13
，α∈（
π
4
，
3
π
4
），β∈（0，
π
4
），则cos（α+β）=（　　）
A．
16
65
B．-
56
65
C．
63
65
D．-
33
65
组卷：173引用：4难度：0.7
解析
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m,筒车的半径r为2.5m,筒车转动的角速度ω为
π
12
rad
/
s
，如图2所示，盛水桶M在P₀处距水面的距离为3m,则2s后盛水桶M到水面的距离近似为（　　）
A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m
组卷：33引用：3难度：0.5
解析
7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,bsinA=acosB，b=2，c=
6
，则角C为（　　）
A．
2
π
3
B．
5
π
6
C．
π
6
或
5
π
6
D．
π
3
或
2
π
3
组卷：642引用：3难度：0.6
解析

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四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图，某自行车手从O点出发，沿折线O-A-B-O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20
2
千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°-α）（其中sinα=
1
26
，0°＜α＜90°）且与点O相距5
13
千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）．
（1）求该自行车手的骑行速度；
（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．
组卷：217引用：4难度：0.3
解析
22．设O为坐标原点，定义非零向量
OM
=
（
a
,
b
）
的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
OM
=
（
a
,
b
）
称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设函数
h
（
x
）
=
2
sin
（
π
3
-
x
）
-
cos
（
π
6
+
x
）
，求证：h（x）∈S；
（2）记
OM
=
（
0
，
2
）
的“相伴函数”为f（x），若函数
g
（
x
）
=
f
（
x
）
+
2
3
|
sinx
|
-
1
，x∈[0，2π]与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a,b）满足a^2-4ab+3b²＜0，向量
OM
的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值．当点M运动时，求tan2x₀的取值范围．
组卷：85引用：3难度：0.3
解析