2023-2024学年江苏省南京市东山高级中学三校联考高三（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的。

• 1．设复数z满足2+z=（2-z）i,则|z|=（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C．1

  D．4
  组卷：30引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知集合

  A

  =

  {

  x

  ∈

  Z

  |

  x

  +

  2

  x

  -

  3

  ≤

  0

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  ≤

  -

  1

  或x＞3}，则A∩（∁_RB）=（　　）

  A．（-1，3）

  B．{0，1}

  C．{0，1，2，3}

  D．{0，1，2}
  组卷：104引用：2难度：0.9

  解析

• 3．黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a,b两段，使得长线段a与原线段a+b的比等于短线段b与长线段a的比，即a：（a+b）=b：a,其比值约为0.6180339…．小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（　　）

  A．180

  B．210

  C．240

  D．360
  组卷：179引用：3难度：0.8

  解析

• 4．抛物线y²=4x的焦点为F，点P在双曲线C：

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  =

  1

  的一条渐近线上，O为坐标原点，若

  2

  |

  OF

  |

  =

  |

  PF

  |

  ，则△PFO的面积为（　　）

  A．1

  B． 1 2

  C． 1 5 或 1 10

  D． 1 2 或 1 10
  组卷：110引用：3难度：0.6

  解析

• 5．在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则

  PA

  •

  PB

  的取值范围是（　　）

  A．[-5，3]

  B．[-3，5]

  C．[-6，4]

  D．[-4，6]
  组卷：5835引用：33难度：0.4

  解析

• 6．若直线：ax-by+3=0（a＞0，b＞1）平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的面积，则

  2

  a

  +

  1

  b

  -

  1

  的最小值为（　　）

  A．6

  B．8

  C．4

  D． 4 + 2 6
  组卷：120引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  cosx , x ≤ 0

  lnx x ， 0 ＜ x ＜ 4 π

  ，则y=f（x）（x∈R）的图象上关于y轴对称的点共有（　　）

  A．1对

  B．2对

  C．3对

  D．4对
  组卷：56引用：2难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  6

  3

  ，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为

  4

  2

  ．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为

  a

  2

  的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为k₁，k₂．
  ①求证：k₁k₂为定值；
  ②试问|OA|²+|OB|²是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
  组卷：398引用：5难度：0.3

  解析

• 22．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  a

  e

  x

  ．
  （1）求f（x）的单调区间；
  （2）若

  3

  +

  2

  lnx

  e

  x

  ≤

  f

  （

  x

  ）

  +

  2

  x

  ，求a的取值范围．
  组卷：51引用：1难度：0.2

  解析