2023-2024学年湖南省长沙一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  x

  -

  1

  ≤

  0

  }

  ，则∁_RA=（　　）

  A．（-∞，0）∪（1，+∞）	B．（-∞，0]∪[1，+∞）
  C．（-∞，0）∪[1，+∞）	D．[0，1）
  组卷：31引用：2难度：0.7

  解析

• 2．若对数函数f（x）经过点（4，2），则它的反函数g（x）的解析式为（　　）

  A．g（x）=2x

  B． g （ x ） = （ 1 2 ） x

  C．g（x）=4x

  D．g（x）=x2
  组卷：216引用：2难度：0.9

  解析

• 3．设x∈R，则“

  x

  +

  1

  ≤

  2

  ”是“|x-1|＜2”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：54引用：2难度：0.7

  解析

• 4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a,b,c∈R，则下列命题正确的是（　　）

  A．若a＞b,则a|c|＞b|c|	B．若a＞b,则 1 a 2 ＜ 1 b 2
  C．若 a c 2 ＞ b c 2 ，则a＞b	D．若a2＞b2，则a＞b
  组卷：46引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知a,b∈R，且2a-b-2=0，则

  9

  a

  +

  1

  3

  b

  的最小值为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：814引用：10难度：0.7

  解析

• 6．心理学家有时用函数L（t）=250（1-e^-kt）来测定人们在时间t（min）内能够记忆的单词量L，其中k表示记忆率．心理学家测定某学生在10min内能够记忆50个单词，则该学生在30min从能记忆的单词个数为（　　）

  A．150

  B．128

  C．122

  D．61
  组卷：131引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=f（1-x），当x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂时，

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ＜

  0

  恒成立，设a=f（-1），b=f（0），c=f（e）（其中e=2.71828…），则a,b,c的大小关系为（　　）

  A．c＞a＞b

  B．c＞b＞a

  C．b＞a＞c

  D．b＞c＞a
  组卷：106引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知二次函数f（x）=x²+2ax+2．
  （1）若∃x∈[0，2]，使等式f（2^x）=0成立，求实数a的取值范围．
  （2）解关于x的不等式（a+1）x²+x＞f（x）（其中a∈R）．
  组卷：71引用：2难度：0.7

  解析

• 22．对于函数f₁（x），f₂（x），如果存在一对实数a,b,使得f（x）=af₁（x）+bf₂（x），那么称f（x）为f₁（x），f₂（x）的亲子函数，（a,b）称为f（x）关于f₁（x）和f₂（x）的亲子指标．
  （1）已知f₁（x）=2x-3，f₂（x）=x+1，试判断f（x）=5x-5是否为f₁（x），f₂（x）的亲子函数，若是，求出其亲子指标；若不是，说明理由．
  （2）已知

  f

  1

  （

  x

  ）

  =

  3

  x

  ，

  f

  2

  （

  x

  ）

  =

  9

  x

  ，F（x）为f₁（x），f₂（x）的亲子函数，亲子指标为（-2m-2，m），是否存在实数m,使函数F（x）在

  x

  ∈

  [

  0

  ，

  lo

  g

  3

  15

  4

  ]

  上的最小值为-5，若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由．
  组卷：52引用：2难度：0.5

  解析