2021年福建师大附中启明级高考数学质检试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．设集合A={-1，0，1，2}，集合B={y|y=2^x，x∈A}，则A∩B=（　　）

  A．{0，1}

  B．{1，2}

  C．{0，1，2}

  D．（0，+∞）
  组卷：346引用：6难度：0.9

  解析

• 2．等比数列{a_n}中，a₁＜0，则“a₂＜a₃”是“a₅＜a₆”的（　　）

  A．充要条件	B．充分不必要条件
  C．必要不充分条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：329引用：3难度：0.6

  解析

• 3．已知点P（1，2

  2

  ）是角α终边上一点，则cos（

  π

  6

  -

  α

  ）等于（　　）

  A． 2 2 + 3 6

  B． 2 - 6 6

  C．- 3 + 6 6

  D． 6 - 3 6
  组卷：306引用：2难度：0.8

  解析

• 4．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如表：
  

  小数记录x	0.1	0.12	0.15	0.2	…	？	…	1.0	1.2	1.5	2.0
  五分记录y	4.0	4.1	4.2	4.3	…	4.7	…	5.0	5.1	5.2	5.3

  现有如下函数模型：①y=5+lgx,②y=5+

  1

  10

  lg

  1

  x

  ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：
  小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（　　）
  （附：10^-0.3=0.5，5^-0.22=0.7，10^-0.1=0.8），

  A．0.3

  B．0.5

  C．0.7

  D．0.8
  组卷：86引用：3难度：0.7

  解析

• 5．设a=sin1，

  b

  =

  3

  sin

  1

  3

  ，

  c

  =

  5

  sin

  1

  5

  ，则（　　）

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜b＜a
  组卷：222引用：1难度：0.6

  解析

• 6．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB=PA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为（　　）

  A． 1 3

  B． 2 2

  C． 3 2

  D． 3 3
  组卷：396引用：4难度：0.5

  解析

• 7．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[

  π

  6

  ，

  π

  4

  ]，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）

  A．[ 2 2 ， 3 2 ]

  B．[ 2 2 ，1）

  C．[ 2 2 ， 3 -1]

  D．[ 3 3 ， 6 3 ]
  组卷：438引用：10难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
  （1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差；
  （2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B（n,p），那么当n比较大时，可视为X服从正态分布N（μ，σ²）．任意正态分布都可变换为标准正态分布（μ=0且σ=1的正态分布），如果随机变量Y～N（μ，σ²），那么令Z=

  Y

  -

  μ

  σ

  ，则可以证明Z～N（0，1）．当Z～N（0，1）时，对于任意实数a,记Φ（a）=P（Z＜a）．
  已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当a=0.16时，由于0.16=0.1+0.06，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是Φ（0.16）的值．
  （ⅰ）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
  （ⅱ）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
  

  a	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
  0.0	0.500	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
  0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
  0.2	0.5793	0.5834	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
  0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6404	0.6443	0.6480	0.6517
  0.4	0.6554	0.6591	0.628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
  0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
  组卷：439引用：4难度：0.4

  解析

• 22．已知函数f（x）=（x-a）²+2sinx-

  7

  4

  ．
  （1）证明：f（x）有唯一极值点；
  （2）讨论f（x）的零点个数．
  组卷：175引用：3难度：0.5

  解析