2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为（　　）

  A．50

  B．80

  C．100

  D．200
  组卷：211引用：4难度：0.8

  解析

• 2．已知复数z₀=3+i,其中i为虚数单位，复数z满足zz₀=3z+z₀，则z=（　　）

  A．1-3i

  B．1+3i

  C．3+i

  D．3-i
  组卷：34引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知圆C₁：x²+y²-x-ay=0与圆C₂：x²+y²-2x-4y+2=0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为（　　）

  A．-4

  B．-2

  C．2

  D．4
  组卷：73引用：6难度：0.7

  解析

• 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径（直径）一尺四寸，底径（直径）六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸（一尺等于十寸），则平地降雨量为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：22引用：1难度：0.7

  解析

• 5．已知cosx+sinx=

  2

  3

  ，则

  sin

  2

  x

  cos

  （

  x

  -

  π

  4

  ）

  =（　　）

  A．- 7 16

  B．- 7 2 6

  C．- 7 6

  D．- 7 3
  组卷：278引用：5难度：0.6

  解析

• 6．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为其右支上一点，连接PF₁交y轴于点Q，若△PQF₂为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 5
  组卷：466引用：9难度：0.7

  解析

• 7．在平面直角坐标系xOy中，P为直线3x+4y+1=0上一点．若向量

  a

  =（3，4），则向量

  OP

  在向量

  a

  上的投影向量为（　　）

  A．- 1 5	B．（- 3 5 ，- 4 5 ）
  C．（- 3 25 ，- 4 25 ）	D．无法确定
  组卷：40引用：1难度：0.8

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABB₁=

  π

  2

  ，∠B₁BC=

  π

  3

  ．
  （1）证明：A₁C₁⊥B₁C；
  （2）求直线BC与平面ABB₁A₁所成角的大小．
  组卷：132引用：4难度：0.5

  解析

• 22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且焦距为2

  3

  ，椭圆C的上顶点为B，且

  B

  F

  1

  •

  B

  F

  2

  =-2．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若直线l过点A（2，-1），且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN分别交直线x=4于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由．
  组卷：103引用：3难度：0.5

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