2021-2022学年北京四中高三（下）开学数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

• 1．已知集合A={x∈Z|（x+2）（x-1）＜0}，B={-2，-1}，那么A∪B等于（　　）

  A．{-2，-1，0，1}

  B．{-2，-1，0}

  C．{-2，-1}

  D．{-1}
  组卷：228引用：10难度：0.9

  解析

• 2．已知i为虚数单位，则复数z=

  1

  +

  2

  i

  1

  -

  3

  i

  对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：107引用：5难度：0.8

  解析

• 3．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：129引用：5难度：0.9

  解析

• 4．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AB⊥BC．则下列两条直线中，不互相垂直的是（　　）

  A．AA1和BC

  B．AB1和BC1

  C．A1B和BC

  D．AB和B1C
  组卷：262引用：3难度：0.7

  解析

• 5．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且

  AE

  =

  1

  2

  AB

  ，

  BF

  =

  2

  3

  BC

  ，如果

  EF

  =

  m

  AB

  +

  n

  AC

  （m,n为实数），那么m+n的值为（　　）

  A． - 1 2

  B．0

  C． 1 2

  D．1
  组卷：341引用：7难度：0.9

  解析

• 6．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（　　）

  A． 5 5

  B． 2 5 5

  C． 3 5 5

  D． 4 5 5
  组卷：2101引用：46难度：0.7

  解析

• 7．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  ωx

  +

  π

  6

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  的最小正周期为4π，则（　　）

  A．函数f（x）的图象关于原点对称

  B．函数f（x）的图象关于直线 x = π 3 对称

  C．函数f（x）图象上的所有点向右平移 π 3 个单位长度后，所得的图象关于原点对称

  D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增
  组卷：344引用：10难度：0.9

  解析

三、解答题（共85分）

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的离心率为

  3

  2

  ，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．
  （I）求椭圆C的标准方程；
  （Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．
  组卷：850引用：10难度：0.5

  解析

• 21．设正整数数列A：a₁，a₂，…，a_N（N＞3）满足a_i＜a_j，其中1≤i＜j≤N．如果存在k∈{2，3，…，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”．
  （Ⅰ）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
  （Ⅱ）若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2，3，…，N}．
  （Ⅲ）如果a_N≤2019，且对于任意k∈{2，3，…，N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．
  组卷：207引用：8难度：0.2

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