北师大版七年级（上）中考题单元试卷：第4章 平面图形及其位置关系（02）

一、选择题（共1小题）

• 1．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）

  A．6条

  B．7条

  C．8条

  D．9条
  组卷：2707引用：47难度：0.5

  解析

二、填空题（共4小题）

• 2．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=

  2

  17

  3

  ，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）
  组卷：1228引用：27难度：0.7

  解析

• 3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
  （Ⅰ）计算AC²+BC²的值等于

  ；
  （Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC²+BC²，并简要说明画图方法（不要求证明）．
  组卷：1965引用：31难度：0.7

  解析

• 4．如图，在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD，请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形．（要求：在答题卡的图中画出裁剪线即可）
  组卷：467引用：27难度：0.5

  解析

• 5．如图，在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为

  cm²．
  组卷：3448引用：47难度：0.5

  解析

三、解答题（共25小题）

• 6．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）
  组卷：708引用：29难度：0.7

  解析

• 7．图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
  
  （1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
  （2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
  （3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
  组卷：689引用：33难度：0.7

  解析

• 8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
  组卷：1976引用：43难度：0.5

  解析

• 9．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb-1，其中m,n为常数．
  （1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；
  （2）利用（1）中的格点多边形确定m,n的值．
  
  组卷：711引用：30难度：0.5

  解析

• 10．各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（G•Pick,1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式S=a+

  1

  2

  b-1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a=4，b=6，S=4+

  1

  2

  ×6-1=6
  （1）请在图1中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．
  （2）请在图2中画一个格点三角形，使它的面积为

  7

  2

  ，且每条边上除顶点外无其它格点．
  
  组卷：773引用：30难度：0.5

  解析

三、解答题（共25小题）

• 29．数学问题：计算

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  （其中m,n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
  探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
  探究一：计算

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  ．
  第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为

  1

  2

  ；
  第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  ；
  第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
  …
  第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  ，最后空白部分的面积是

  1

  2

  n

  ．
  根据第n次分割图可得等式：

  1

  2

  +

  1

  2

  2

  +

  1

  2

  3

  +…+

  1

  2

  n

  =1-

  1

  2

  n

  ．
  
  探究二：计算

  1

  3

  +

  1

  3

  2

  +

  1

  3

  3

  +…+

  1

  3

  n

  ．
  第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为

  2

  3

  ；
  第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  ；
  第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
  …
  第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  +

  2

  3

  3

  +…+

  2

  3

  n

  ，最后空白部分的面积是

  1

  3

  n

  ．
  根据第n次分割图可得等式：

  2

  3

  +

  2

  3

  2

  +

  2

  3

  3

  +…+

  2

  3

  n

  =1-

  1

  3

  n

  ，
  两边同除以2，得

  1

  3

  +

  1

  3

  2

  +

  1

  3

  3

  +…+

  1

  3

  n

  =

  1

  2

  -

  1

  2

  ×

  3

  n

  ．
  
  探究三：计算

  1

  4

  +

  1

  4

  2

  +

  1

  4

  3

  +…+

  1

  4

  n

  ．
  （仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
  
  解决问题：计算

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  ．
  （只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
  根据第n次分割图可得等式：

  ，
  所以，

  1

  m

  +

  1

  m

  2

  +

  1

  m

  3

  +…+

  1

  m

  n

  =

  ．
  拓广应用：计算

  5

  -

  1

  5

  +

  5

  2

  -

  1

  5

  2

  +

  5

  3

  -

  1

  5

  3

  +…+

  5

  n

  -

  1

  5

  n

  ．
  组卷：1922引用：31难度：0.1

  解析

• 30．在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．
  组卷：555引用：29难度：0.1

  解析