2023年重庆市九龙坡区渝高中学自主招生数学试卷

一、解答题

• 1．化简．
  （1）

  （

  4

  x

  2

  -

  4

  -

  2

  x

  +

  2

  ）

  ÷

  x

  2

  -

  4

  x

  x

  -

  2

  ；
  （2）

  x

  2

  -

  4

  x

  +

  4

  x

  2

  +

  x

  ÷（

  3

  x

  +

  1

  -x+1）+

  1

  x

  ．
  组卷：839引用：1难度：0.6

  解析

• 2．解方程．
  （1）3x（x+1）=2（x+1）；
  （2）2x²-3x-5=0．
  组卷：1303引用：3难度：0.7

  解析

• 3．若数m使关于y的不等式组至少有

  2 y + 1 ＞ 0

  2 （ y + 2 m ） ≤ 5 m

  三个整数解，且使关于x的分式方程

  8

  -

  mx

  2

  -

  x

  -

  2

  =

  x

  x

  -

  2

  有整数解，求所有满足条件的整数m的值的和（写出过程）．
  组卷：554引用：1难度：0.5

  解析

一、解答题

• 8．如果一个自然数M能分解成p²+q,其中P与q都是两位数，p与q的十位数字相同，个位数字之和为9，则称数M为“好数”，并把数M=p²+q的过程，称为“好分解”，例如：139=11²+18，11与18的十位数字相同，1+8=9，所以139是“好数”；470=21²+29，21与29的十位数字相同，但1+9≠9，所以470不是“好数”．
  （1）判断268，1061是否是“好数”？并说明理由；
  （2）把一个四位“好数”M进行“好分解”，即M=p²+q,并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被4整除，且N的各个数位数字之和能被5整除，求出所有满足条件的M．
  组卷：316引用：3难度：0.6

  解析

• 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（

  5

  2

  ，0），直线y=x+

  1

  2

  与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．
  （1）求抛物线的函数表达式；
  （2）当

  2

  PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和

  2

  PG+PQ的最大值；
  （3）将抛物线向右平移

  13

  4

  个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中

  2

  PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．
  
  组卷：1765引用：4难度：0.3

  解析