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2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/6 12:0:1

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知
a
=（x,1，3），
b
=（1，3，9），如果
a
与
b
为共线向量，则x=（　　）
A．1 B．
1
2
C．
1
3
D．
1
6
组卷：118引用：3难度：0.8
解析
2．已知集合A={y|y=e^x}，集合B={x|y=ln（x-1）}，则A∪B=（　　）
A．R B．[1，+∞） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
组卷：154引用：2难度：0.8
解析
3．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥α B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，则m∥β D．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
组卷：151引用：10难度：0.7
解析
4．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计、发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90）的学生数是（　　）
A．30 B．45 C．60 D．100
组卷：112引用：1难度：0.7
解析
5．已知两条异面直线的方向向量分别是
u
=
（
3
，-
1
，
2
）
，
v
=
（
-
1
，
3
，
2
）
，则这两条直线所成的角θ满足（　　）
A．
sinθ
=
1
7
B．
cosθ
=
1
7
C．
sinθ
=
-
1
7
D．
cosθ
=
-
1
7
组卷：44引用：2难度：0.7
解析
6．已知平面
α
=
{
P
|
n
•
P
0
P
=
0
}
，其中P₀（1，1，1），法向量
n
=
（
-
1
，
1
，
2
）
，则下列各点中不在平面α内的是（　　）
A．（2，0，1） B．（2，0，2） C．（-1，1，0） D．（0，2，0）
组卷：177引用：4难度：0.8
解析
7．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是线段B₁D₁上一点，则点M到平面A₁BD的距离是（　　）
A．
3
6
B．
3
3
C．
3
4
D．
6
3
组卷：50引用：2难度：0.5
解析
8．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（　　）
A．
7
6
π
+
1
B．
7
6
π
+
5
6
C．
7
8
π
+
1
D．π+1
组卷：475引用：7难度：0.7
解析

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五、解答题：本大题共2小题，共25分.

23．在△ABC中，
bsin
2
A
=
3
asin
B
．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为
3
3
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：
sin
C
=
2
7
7
；条件②：
b
c
=
3
3
4
；条件③：
cos
C
=
21
7

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
组卷：1112引用：11难度：0.6
解析
24．给定正整数n≥2，设集合M={α|α=（t₁，t₂，…，t_n），t_k∈{0，1}，k=1，2，…，n}．对于集合M中的任意元素β=（x₁，x₂，…，x_n）和γ=（y₁，y₂，…，y_n），记β•γ=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n．
设A⊆M，且集合A={α_i|α_i=（t_i1，t_i2，…，t_in），i=1，2，…，n}，对于A中任意元素α_i，α_j，若
α
i
•
α
j
=
p
,

i
=
j
,
1
，

i
≠
j
,
则称A具有性质T（n,p）．
（Ⅰ）判断集合A={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T（3，2）？说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在具有性质T（4，p）的集合A，并加以证明；
（Ⅲ）若集合A具有性质T（n,p），证明：t_1j+t_2j+…+t_nj=p（j=1，2，…，n）．
组卷：450引用：6难度：0.1
解析