2023-2024学年山东省青岛二中高三（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．命题“∃x₀＞1，ln（x₀-1）≥0”的否定是（　　）

  A．∀x＞1，ln（x-1）＜0	B．∀x≤1，ln（x-1）＜0
  C．∀x＞1，ln（x-1）≥0	D．∀x≤1，ln（x-1）≥0
  组卷：27引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x∈N*|1≤x＜3}，B={x|ax-2=0}，且A∩B=B，则实数a的所有取值集合是（　　）

  A．{1}

  B．{1，2}

  C．{0，1，2}

  D．{0，2}
  组卷：44引用：2难度：0.7

  解析

• 3．若

  （

  1

  +

  x

  1

  4

  ）

  8

  的展开式中共有m个有理项，则m的值是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：224引用：1难度：0.8

  解析

• 4．底面半径是1的圆锥，侧面积是3π，则圆锥的体积是（　　）

  A． 2 2 π

  B． 2 π

  C． 2 π 3

  D． 2 2 π 3
  组卷：70引用：2难度：0.7

  解析

• 5．柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．现给出一个二维柯西不等式：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，当且仅当ad=bc时即

  a

  c

  =

  b

  d

  时等号成立．根据柯西不等式可以得知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  3

  4

  -

  3

  x

  +

  3

  x

  -

  2

  的最大值为（　　）

  A． 2 5

  B． 2 3

  C． 10

  D． 13
  组卷：317引用：8难度：0.7

  解析

• 6．设曲线y=x³-2x²+1在x=k处的切线为l,若l的倾斜角小于135°，则k的取值范围是（　　）

  A． （ - ∞ ， 1 3 ） ∪ （ 1 ， + ∞ ）

  B． （ - ∞ ， 0 ） ∪ （ 1 3 ， 1 ） ∪ （ 4 3 ， + ∞ ）

  C． （ - ∞ ， 1 3 ） ∪ [ 4 3 ， + ∞ ）

  D． （ - ∞ ， 0 ] ∪ （ 1 3 ， 1 ） ∪ [ 4 3 ， + ∞ ）
  组卷：141引用：10难度：0.7

  解析

• 7．已知角α，β∈（0，π），且sin（α+β）+cos（α-β）=0，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tan（α+β）=（　　）

  A．-2

  B． - 1 2

  C． 1 2

  D．2
  组卷：439引用：5难度：0.6

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知点

  （

  1

  ，

  2

  ）

  在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，A、B为抛物线C上的两个动点，AB不垂直于x轴，F为焦点，且|AF|+|BF|=5．
  （1）求p的值，并证明AB的垂直平分线过定点；
  （2）设（1）中的定点为Q，求△ABQ面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由．
  组卷：70引用：1难度：0.2

  解析

• 22．设函数f（x）=e^x，g（x）=e^sinx+e^cosx．
  （1）求曲线y=f（x）平行于直线y=x+3的切线；
  （2）讨论g（x）的单调性．
  组卷：66引用：3难度：0.2

  解析