2023-2024学年江苏省南通市如皋市高三（上）诊断数学试卷（9月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知集合M={x|x²-2mx-3m²≤0}，N={x|x²+mx-2m²≤0}，定义b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，若集合M∩N的长度为4，则M∪N的长度为（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．10
  组卷：223引用：3难度：0.5

  解析

• 2．设z=m+ni是方程az⁴+ibz³+cz²+idz+e=0的一个复数根，这里a,b,c,d,e,m,n∈R．则下列各数一定是方程的根的是（　　）

  A．m-ni

  B．-m+ni

  C．n+mi

  D．1-m+ni
  组卷：25引用：1难度：0.7

  解析

• 3．设a,b,c为正数，且a²+b²+c²=1，则a（a+b+c）的最大值为（　　）

  A． 3 + 1 2

  B． 2 + 1 2

  C． 3 2

  D． 2 2
  组卷：155引用：2难度：0.5

  解析

• 4．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）满足

  f

  （

  π

  4

  ）

  =

  1

  ，

  f

  （

  5

  3

  π

  ）

  =

  0

  且f（x）在

  （

  π

  4

  ，

  5

  π

  6

  ）

  上单调，则ω的最大值为（　　）

  A． 12 7

  B． 18 17

  C． 6 17

  D． 30 17
  组卷：1030引用：12难度：0.7

  解析

• 5．15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是（　　）

  A． 30 91

  B． 25 91

  C． 15 91

  D． 10 91
  组卷：72引用：3难度：0.7

  解析

• 6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x²+y²=1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
  ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
  ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

  2

  ；
  ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
  其中，所有正确结论的序号是（　　）

  A．①

  B．②

  C．①②

  D．①②③
  组卷：3391引用：26难度：0.7

  解析

• 7．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n•2ⁿ，记数列{a_n-tn}的前n项和为S_n，若S_n≤S₁₀对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

  A． [ 12 11 ， 11 10 ]

  B． （ 12 11 ， 11 10 ]

  C． [ 11 10 ， 10 9 ]

  D． （ 11 10 ， 10 9 ）
  组卷：405引用：9难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  3

  2

  ，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，坐标原点O到直线AD的距离为

  2

  5

  5

  ．
  （1）求椭圆的方程；
  （2）过A点作两条互相垂直的直线AP，AQ与椭圆交于P，Q两点，求△BPQ面积的最大值．
  组卷：757引用：4难度：0.3

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• 22．已知函数f（x）=e^xsinx-x.
  （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
  （2）证明：

  lnπ

  -

  π

  6

  ＜

  ln

  3

  ．
  组卷：32引用：2难度：0.4

  解析