2023年北京市海淀区高考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共4小题每小题4分，满分16分）

• 1．方程

  2

  sin

  （

  2

  x

  +

  π

  3

  ）

  -

  1

  =

  0

  在区间[0，4π）上的解的个数为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：187引用：2难度：0.5

  解析

• 2．已知直线l∥平面α，平面β⊥平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（　　）

  A．l与β不平行

  B．l与β不相交

  C．l不在平面β上

  D．l在β上，与β平行，与β相交都有可能
  组卷：303引用：8难度：0.7

  解析

• 3．设三角形ABC是位于平面直角坐标系xOy的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足：|PA|²+|PB|²+|PC|²=|OA|²+|OB|²+|OC|²，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的（　　）

  A．内心

  B．外心

  C．重心

  D．垂心
  组卷：201引用：3难度：0.6

  解析

• 4．已知y=f（x）与y=g（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意x∈R，f（x）＜g（x）恒成立，且y=f（x）与y=g（x）的反函数y=f^-1（x）、y=g^-1（x）均存在，命题P：“对任意x∈R，f^-1（x）＞g^-1（x）恒成立”，命题Q：“函数y=f（x）+g（x）的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（　　）

  A．命题P真，命题Q真	B．命题P真，命题Q假
  C．命题P假，命题Q真	D．命题P假，命题Q假
  组卷：101引用：3难度：0.6

  解析

二、填空题（本大题共12小题每小题5分，满分60分）

• 5．函数f（x）=log₂（x-2）的定义域是

  ．
  组卷：77引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为

  2

  2

  3

  π，则该圆锥的侧面积为

   

  ．
  组卷：212引用：5难度：0.7

  解析

• 7．等差数列{a_n}中，a₃+a₁₀=25，则其前12项之和S₁₂的值为
  组卷：391引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共5小题每小题4-12分，满分44分）

• 20．设抛物线Γ的方程为y²=2px,其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．
  （1）若直线x=3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；
  （2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求

  |

  PA

  |

  |

  PF

  |

  的最大值；
  （3）设p=2，l₁，l₂是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l₁与抛物线Γ交于点A，B，l₂与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4

  FG

  =

  FA

  +

  FB

  +

  FC

  +

  FD

  ，求点G的轨迹方程．
  组卷：264引用：5难度：0.5

  解析

• 21．设各项均为整数的无穷数列{a_n}满足：a₁=1，且对所有n∈N^*，|a_n+1-a_n|=n均成立．
  （1）写出a₄的所有可能值（不需要写计算过程）；
  （2）若{a_2n-1}是公差为1的等差数列，求{a_n}的通项公式；
  （3）证明：存在满足条件的数列{a_n}，使得在该数列中，有无穷多项为2019．
  组卷：310引用：2难度：0.1

  解析