2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（三）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知复数z=1-i（i为虚数单位），

  z

  是z的共轭复数，则|

  1

  z

  |的值为（　　）

  A．1

  B． 2 2

  C． 1 2

  D． 2
  组卷：67引用：3难度：0.9

  解析

• 2．已知全集U=R，集合A={x|y=

  2

  x

  -

  x

  2

  ，集合B={y|y=2^x，x∈R}，则（∁_RA）∩B=（　　）

  A．{x|x＞2}

  B．{x|0＜x≤1}

  C．{x|1＜x≤2}

  D．{x|x＜0}
  组卷：144引用：40难度：0.9

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  满足

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  7

  ，且

  |

  a

  |

  =

  3

  ，

  |

  b

  |

  =

  4

  ，则

  |

  a

  -

  b

  |

  =（　　）

  A．5

  B．3

  C．2

  D．1
  组卷：400引用：4难度：0.7

  解析

• 4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（　　）

  A． 1 4

  B． 1 3

  C． 2 9

  D． 3 8
  组卷：109引用：3难度：0.7

  解析

• 5．若函数f（x）=

  x

  3

  3

  -

  a

  2

  x²+x+1在区间（

  1

  2

  ，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）

  A．（2， 5 2 ）

  B．[2， 5 2 ）

  C．（2， 10 3 ）

  D．[2， 10 3 ）
  组卷：848引用：27难度：0.7

  解析

• 6．已知a=log₃2，

  b

  =

  ln

  3

  ln

  4

  ，

  c

  =

  2

  3

  ．则a,b,c的大小关系是（　　）

  A．a＜b＜c

  B．a＜c＜b

  C．c＜a＜b

  D．b＜a＜c
  组卷：553引用：10难度：0.8

  解析

• 7．已知tanα+tanβ=3，sin（α+β）=2sinαsinβ，则tan（α+β）=（　　）

  A．4

  B．6

  C． - 3 2

  D．-6
  组卷：395引用：7难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为

  1

  3

  ，上两级的概率为

  2

  3

  ，设他上到第n级的概率为P_n．
  （1）求他上到第10级的概率P₁₀（结果用指数形式表示）；
  （2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．
  组卷：356引用：4难度：0.5

  解析

• 22．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  2

  2

  ，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且

  |

  OP

  |

  =

  7

  2

  ，

  P

  F

  1

  •

  P

  F

  2

  =

  3

  4

  （O为坐标原点）．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）过点

  S

  （

  0

  ，-

  1

  3

  ）

  且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．
  组卷：104引用：4难度：0.1

  解析